2018届高考数学(理)热点题型:函数与导数(有答案)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 函数与导数 热点一 利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.‎ ‎【例1】已知函数f(x)=ln x+a(1-x).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当f(x)有最大值,且最大值大于‎2a-2时,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.‎ 若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;‎ 当x∈时,f′(x)<0,‎ 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ 综上,知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;‎ 当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln +a=-ln a+a-1.‎ 因此f>‎2a-2等价于ln a+a-1<0.‎ 令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,‎ g(1)=0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 于是,当0<a<1时,g(a)<0;‎ 当a>1时,g(a)>0.‎ 因此,实数a的取值范围是(0,1).‎ ‎【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.‎ ‎(2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解ln a+a-10,即(-x2+2)ex>0,因为ex>0,‎ 所以-x2+2>0,解得-0.‎ 所以y=(x+1)-在(-1,1)上单调递增,‎ 所以y0时,解不等式f(x)≤0;‎ ‎(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.‎ 解 (1)因为ex>0,(ax2+x)ex≤0.‎ ‎∴ax2+x≤0.又因为a>0,‎ 所以不等式化为x≤0.‎ 所以不等式f(x)≤0的解集为.‎ ‎(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,‎ 由于ex>0,所以x=0不是方程的解,‎ 所以原方程等价于ex--1=0.‎ 令h(x)=ex--1,‎ 因为h′(x)=ex+>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,‎ 所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调递增函数,‎ 又h(1)=e-30,h(-3)=e-3-0,‎ 所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.‎ 热点三 利用导数研究不等式问题 导数在不等式中的应用是高考的热点,常以解答题的形式考查,以中高档题为主,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 突出转化思想、函数思想的考查,常见的命题角度:(1)证明简单的不等式;(2)由不等式恒成立求参数范围问题;(3)不等式恒成立、能成立问题.‎ ‎【例3】设函数f(x)=e2x-aln x.‎ ‎(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;‎ ‎(2)证明:当a>0时,f(x)≥‎2a+aln.‎ ‎(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-(x>0).‎ 当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点.‎ 当a>0时,设u(x)=e2x,v(x)=-,‎ 因为u(x)=e2x在(0,+∞)上单调递增,v(x)=-在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 又f′(a)>0,当b满足0<b<且b<时,f′(b)<0(讨论a≥1或a<1来检验),‎ 故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.‎ ‎(2)证明 由(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.‎ 故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,‎ 所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0)‎ 由于2e2x0-=0,‎ 所以f(x0)=+2ax0+aln≥‎2a+aln.‎ 故当a>0时,f(x)≥‎2a+aln.‎ ‎【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板 第一步:求函数的定义域;‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第二步:分类讨论函数的单调性、极值;‎ 第三步:根据零点存在性定理,结合函数图象确定各分类情况的零点个数.‎ ‎2.证明不等式的答题模板 第一步:根据不等式合理构造函数;‎ 第二步:求函数的最值;‎ 第三步:根据最值证明不等式.‎ ‎【对点训练】 已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).‎ ‎(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间;‎ ‎(3)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1]使得f(x1)0),所以f′(1)=2+1=3,所以斜率k=3.又切点为(1,2),所以切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0,‎ 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-1=0.‎ ‎(2)f′(x)=a+=(x>0),‎ ‎①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,所以f(x)的单调增区间为(0,+∞).‎ ‎②当a0,在区间上,f′(x)

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