广东省广州市番禺区2014年九年级综合训练（一）
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名、座位号、准考证号等，再用2B铅笔把号码对应的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的.）
1．的倒数是（※）.
（A） （B） （C） （D）
2. 下面的计算中正确的是（※）.
（A） （B）
（C） （D）
3. 下面左图所示的几何体的俯视图是（※）.
第3题图
（A） （B） （C） （D）
4．若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（※）.
（A） （B） （C） （D）
5．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（※）.
(A)
44×105
（B）
0.44×105
（C）
4.4×106
（D）
4.4×105
6．一袋中有同样大小的个小球，其中个红色，个白色．随机从袋中同时摸出两个球， 这两个球颜色相同的概率是（※）.
（A） （B） （C） （D）
－12－
7．实数在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（※）.
（A） （B） （C） （D）
8．如图，已知⊙是△的外接圆，AB是⊙的直径，CD是⊙的弦，∠ABD=，
第9题图
第8题图
则∠BCD等于（※）.
（A） （B）
（C） （D）
第7题图
9. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在
处， 若，，则的长为（※）.
第10题图
（A） （B）3 （C）1 （D）
10．已知二次函数的图象如图所示，
则下列结论中不正确的是（※）.
（A）
（B）的最小值为负值
（C）当时，随的增大而减小
A
B
第15题图
（D）是关于的方程的一个根
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ※ ．
12．计算：= ※ ．
13．分解因式： ※ ．
14．若不等式（是常数）的解集是，则 ※ ．
15．如图，将一块斜边长为12cm，的直角三角板，绕点沿逆时针方向旋转至的位置，再沿向右平移，使点刚好落在斜边上，那么此三角板向右平移的距离是 ※ cm．
16. 已知圆锥的底面半径为10，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则的值为 ※ ．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分９分）
设，
(1) 求当为何值时，;
－12－
(2) 若与的值相等，求的值.
第18题图
18．（本小题满分９分）
如图，是平行四边形的对角线．
（1）利用尺规作出的垂直平分线（要求保留
作图痕迹，不写作法）；
(2) 设的垂直平分线分别与、、
交于点、、，求证：．
19．（本小题满分10分）
某商场为了解市民对销量较大的开心果、榛子、松子、腰果（分别记为A、B、C、D）等四种干果的喜爱情况，在今年春节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）.
第19题图
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）小明特别喜欢吃松子，参加调查时工作人员先随机从四种干果中取一种干果送给小明试吃，再取另一种干果让小明品尝.请用列表或画树状图的方法，求小明两次试吃即可吃到松子的概率.
20．（本小题满分10分）
去年“十一”黄金周期间，某旅行社接待“广州一日游”和“广州三日游”的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？
21．（本小题满分12分）
第21题图
北
60°
30°
如图，某货船以海里／时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
－12－
22．(本题满分12分)
如图，在直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．
（1）求、的值；
C
A
O
B
E
D
第23题图
（2）求的面积．
第22题图
23．（本小题满分１2分）
如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，求切线的长．
24．（本小题满分１4分）
如本题图1，在中，，且．由沿方向平移得到，连接交于点，连接．
（1）判断四边形是怎样的四边形，并说明理由；
第24题图1
第24题图2
（2）如本题图2，是线段上一动点（不与点重合），连接并延长交线段 于点，再作于．试探究：点移动到何处时，与相似？
1
1
O
A
B
x
y
第25题图
25．（本小题满分１4分）
在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知
，，点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求过、、三点的抛物线的解析式；
（3）设点为抛物线上到轴的距离为1的点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，求点的坐标和的面积．
－12－
番禺区2014年九年级数学综合训练试题(一)
参考答案与评分说明
一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
A
D
B
A
C
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．计算：= ．
13．分解因式：．
14．若不等式（是常数）的解集是，则．
15．如图，将一块斜边长为12cm，的直角三角板，绕点沿逆时针方向旋转至的位置，再沿向右平移，使点刚好落在斜边上，那么此三角板向右平移的距离是cm．
16. 已知圆锥的底面半径为10，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则的值为．
11．；12．；13．；14．；15．；16.
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分９分）
设，(1) 求当为何值时，;
(2) 若与的值相等，求的值.
17解：（1）由得， …………1分
即，得 …………3分
检验：当时，，当时，。…………4分
（2）当时，．…………5分
两边同时乘以，得．…………6分
．得．…………8分
检验：当时，．是分式方程的根．
因此，当时，．…………9分
D
Q
B
E
A
C
O
P
－12－
18．（本小题满分９分）
如图，是平行四边形的对角线．
（1）利用尺规作出的垂直平分线（要求保留
作图痕迹，不写作法）；
(2) 设的垂直平分线分别与、、
交于点、、，求证：．
18解：（1）作图如右. …………4分
（2）证明：根据作图知，是的垂直平分线，
所以，且．…………5分
因为是平行四边形，所以．
所以．…………8分
所以．…………9分
19．（本小题满分10分）
某商场为了解市民对销量较大的开心果、榛子、松子、腰果（分别记为A、B、C、D）等四种干果的喜爱情况，在今年春节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）.
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）小明特别喜欢吃松子，参加调查时工作人员先随机从四种干果中取一种干果送给小明试吃，再取另一种干果让小明品尝.请用列表或画树状图的方法，求小明两次试吃即可吃到松子的概率.
19.解：（1）600人；
…………2分
（2）如右图；
…………6分
（3）如图：…………8分
(列表方法略，参照给分)
. …………9分
答：小明两次品尝可以吃到松子的概率是.
…………10分
－12－
20．（本小题满分10分）
去年“十一”黄金周期间，某旅行社接待“广州一日游”和“广州三日游”的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？
20．解：设接待“广州一日游”旅客人，接待“广州三日游”旅客人，……2分
根据题意得：
…………6分
解这个方程组，得 …………8分
答：该旅行社接待一日游、三日游旅客分别为600人、1000人．…………10分
21．（本小题满分12分）
如图，某货船以海里／时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
21．解：过点C作CD⊥AB于D，…………1分
由题意知∠CAB=30°,∠BCD=30°,∠ACD=60°
∴∠ACB=30°，…………2分
∴∠ACB=∠CAB，∴BC=AB …………4分
∴BC=AB=24×=12 （海里）. …………6分
在Rt△BCD中,∠BCD= …………8分
∴° …………10分
∵
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．…………12分
解(法二): 过点C作CD⊥AB于D，…………1分
由题意知∠ACD=60°，∠CBD=60°，∵AB=24×=12…………3分
在Rt△CAD中,tan60°=, ∴= ① …………5分
在Rt△CBD中,tan60°=, ∴= ② …………6分
由 ①×②得 =3 ，∴AB+BD=3BD , ∴12+BD=3BD
－12－
∴BD=6 …………8分（下同）
22．(本题满分12分)
如图，在直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（1）求、的值；（2）求的面积．
22．解：（1）点在反比例函数的图像上，
所以，故反比例函数解析式为．…………2分
又也在的图象上，，即，…………3分
一次函数过，两点，
所以 …………5分 解得，
即，所求一次函数的解析式为．…………7分
（2）解法一：过点作轴的垂线，交于点．
因为，所以直线对应的正比例函数解析式为，…………8分
F
第18题
当时，，即点的坐标为，…9分
所以，…………10分
所以
，
即的面积为．…………12分
解法二（图略）：过分别作轴的垂线，垂足分别为．由，，得，．设过的直线分别交两坐标轴于两点，
由直线表达式，可得，．…………9分
又，…………10分
得
－12－
．即的面积为．…………12分
23．（本小题满分１2分）
如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，求切线的长．
23．解：（1）证明：如图，是的切线，是直径，
．…………1分
则．
又，
．
C
A
O
B
E
D
（第23题答案图）
1
2
．…………3分
而，…………5分
．…………6分
（2）解：连接．
是直径，
．…………7分
,
．…………8分
在中，，,
．…………10分
．…………11分
即．
．…………12分
－12－
24．（本小题满分１4分）
如本题图1，在中，，且．由沿方向平移得到，连接交于点，连接．
（1）判断四边形是怎样的四边形，并说明理由；
（2）如本题图2，是线段上一动点（不与点重合），连接并延长交线段 于点，再作于．试探究：点移动到何处时，与相似？
A
E
O
B
C
D
Q
P
R
第24题图2
F
1
2
3
G
4
24．解：（1）四边形是菱形. …………1分
证明：是由沿平移得到的，
，且，…………3分
四边形是平行四边形，…………4分
又，四边形是菱形．……5分
(2) 四边形是菱形,
，,.……6分
如图2，当点在上运动，使与相似时，
是的外角，，……8分
不与对应，与 对应，即必有，……9分
〖方法一〗：又,故有， ……10分
过作于，则为的中点，.
在Rt和Rt中，
,……13分
，在上. 即时，.……14分
〖方法二〗：设，由对称性.
过作于,则,则四边形为矩形，
，,.…………① ……10分
又，,.
由菱形的面积得：……11分
， . ……12分
又,,得. ……13分
－12－
代入①得，〖下同方法一〗。〖方法三〗相似时，证重合。
25．（本小题满分１4分）
在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求过、、三点的抛物线的解析式；
O
y
x
D
B
E
F
A
C
1
1
第25题
（3）设点为抛物线上到轴的距离为1的点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，求点的坐标和的面积．
25解：（1）作轴于，作轴于．
则，．
又，
．……1分
又
．……2分
．
点的坐标为．……3分
（2）因为抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式
为：．将两点代入，得
解得．……5分
故所求抛物线的解析式为．……6分
（3）在抛物线中，对称轴的方程是．
是关于抛物线的对称轴的对称点，故坐标，……7分
.……8分
由题意，设抛物线上到轴的距离为1的点为或，则
或……9分
即：或
解得……10分
即抛物线上到轴的距离为1的点为：
、、、. ……12分
在中，底边，高的长为2，故,同理
－12－
，.……14分
－12－
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