2014年紫荆中学凤凰路校区初三第一次模拟考试
数 学 试 题
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．– 4的倒数为（ ）
A. 4 B. – 4 C. D.
2．环境监测中PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米=0.000001米，那么数据0.0000025用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
4．如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）．
第4题图
5．如图，AB是半圆O的直径，且AB=12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是( )．
A． B． C． D．
第8题图
第9题图
第5题图
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
6.若代数式有意义，则的取值范围是________.
7．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，90，75，75，75，85，这组数据的中位数是__________.
8．如图，四边形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD，对角线AC⊥BD于点O，若，则
∠ADC的度数为________.
9. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
10．若，，，… ；则的值为 ．（用含的代数式表示）
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11.（本小题满分6分）计算：.
12．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中．
第14题图
13．（本小题满分6分）已知关于的一元二次方程.
（1）当 时，判断方程的根的情况；
（2）当时，求方程的根.
14.（本小题满分6分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，
第15题图
DN交AC于点M，MA=MC．求证：CD=AN；
15．（本小题满分6分）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离120米的C点处有一消防队。在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为100米，消防车沿CF方向行驶，若警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1. 732）
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（本题满分7分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回收物、厨余垃圾、其它垃圾三类，分别记为A，B，C；并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a，b，c．
（1）若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树形图的方法求垃圾投放正确的概率；
a
b
c
A
50
15
25
B
45
300
55
C
25
10
55
（2）为了调查小区垃圾实际分类投放情况，
现随机抽取了该小区三类垃圾箱中各类垃圾
的重量，统计数据如下﹙单位：kg﹚.试估计“厨
余垃圾”投放正确的概率．
17．（本题满分7分）一项工程，甲、乙两公司合作，18天可以完成，共需付施工费64800元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.2倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1400元.
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
第18题图
18．（本题满分7分) 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=3AO．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集.
第19题图
19．（本题满分7分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．
求证：（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（本题满分9分）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如： .
材料2：对于式子，利用换元法，令t= ， . 则由于t= ≥1，
所以反比例函数有最大值，且为3. 因此分式的最大值为5．
根据上述材料，解决下列问题：
问题1：把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
问题2：当x的值变化时，求分式 的最大（或最小）值．
21．（本题满分9分）把两个等腰直角三角形△ABC与△DEF如图①摆放，直角顶点D在斜边AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上.
（1）判断线段BF和CD的数量和位置关系。（直接写出结论不需要证明）
（2）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，此时（1）中的结论是否成立？证明你的结论；
图③
（3）如图③，把题目条件改为△ABC与△DEF都是顶角为等腰三角形（即∠ACB=∠EDF=2α），（1）中的数量关系仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系.
22．（本题满分9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．
（1）当DE=2时，求四边形CAEB的面积．
（2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△BPQ周长的最小值；
（3）连接BE，是否存在点C，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点C坐标；若不存在，说明理由．
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