2013-2014学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（五）
安阳一中 郸城一高 扶沟高中 鹤壁高中 淮阳中学 济源一中 开封高中
灵宝一高 洛阳一高 林州一中 内黄一中 南阳一高 平顶山一中 濮阳一高
商丘一高 太康一高 温县一中 新乡一中 夏邑高中 虞城高中 叶县一高
（学校名称按其拼音首字母顺序排列）
数学（理科）
本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知集合 ，若 ，则由a的取值构成的集合为
(A) (B){0} (C){0,1} ( D)
(2)设i为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，且 ，则复数z的模为
(A)5 (B) (C)2 -i (D)1
(3)执行如图所示的程序框图，当输入的x=9时，则输出的k=
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(4)已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为椭圆C上一点，若 为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为
- 11 -
(A) (B) (C) 或 (D)
(5)如果一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm），则此几何体的体积是
(A) (B) (C) (D)
(6)已知 为锐角，且 ，则
(A) (B) (C) (D)
(7)已知 展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则：
(A) (B) (C (D)
(8)已知函数 ，若命题“ 且 ，使得 ”为真命题，则下列结论一定正确的是
(A) (B)al
(9)已知 ，则函数 在区间(1，2)上存在一个零点的概率为
(A) (B) (C) (D)
(10)已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，且PA =PB =PC = ，AB= BC=CA =2，则球O的表面积为
( A) (B) (C) (D)
(11)函数 ，若方程 恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围为
(A) (B)
(C) (D)
- 11 -
(12)若曲线 与曲线 存在公共切线，则a的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(13)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足 ，且 ，则ab的值为________．
(14)设变量x，y满足 ，则z=2x-y的最大值为_________.
(15)已知 ，若函数 的最小值为1，则 _______．
(16)如图，B，C两点在双曲线 的右支上，线段BC的垂直平分线DA交y轴于 点 ，若 ，则点A到直线BC的距离d=________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分12分）
已知| 为数列 的前n项和，且 ．
(I)求证： 为等比数列；
(Ⅱ)求数列 的前n项和
(18)（本小题满分12分）
为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会 调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100 名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者，
- 11 -
(I)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；高 考 资 源 网
(Ⅱ)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．
(19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P - ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA=PD，AD= AB=2，且平面PAD 平面.4BCD.
(I)求证：PC BD；
(Ⅱ)若四棱锥P - ABCD的体积为 ，求二面角A -PC -D的余弦值．
(20)（本小题满分12分）
已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线Z交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M
(I)若△MAB面积的最小值为4，求p的值；
(Ⅱ)在(I)的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．
(21)（本小题满分12分）
已知函数 ，
(I) ，试求 的单调区间；
(Ⅱ)若x≥1时，恒有 ，求a的取值范围，
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，E，P，B ，C为圆O上的四点，直线PB，PC，BC分别交直线EO于M，N三点，且PM= PN.
( I)求证： ；
(Ⅱ)若BC∥PE，求 的值．
- 11 -
(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线 （t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且 与 相交于A，B两点．
( I)当 时，求 ；
(Ⅱ)当a变化时，求弦AB的中点P的参数方程，并说明它是什么曲线．
(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
( I)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(Ⅱ)若对任意的x∈R，都有 ，求a的取值范围．
（1）C （2）B （3）B （4）C （5）B （6）C
（7）A （8）B （9）C （10）A （11）A （12）D
（13） （14）7
（15） （16）
（17）解：（Ⅰ）由可得
，
又，则，
- 11 -
得，得，
，故为等比数列.……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，
…………………………………………（12分）
（18）解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者.
（Ⅰ）设表示“所挑选的3名青少年有个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件，
则.………………………（4分）
（Ⅱ）的可能取值为，
，，
，，
.……………………………………………………………（10分）
的分布列为
0
1
2
3
4
则.…………………………（12分）
（19）解：（Ⅰ）取为的中点，连接,如下图.
则在矩形中，有,可得，
则故，
故,…………………………………………………………………………………（3分）
由，为中点，可得,又平面平面.
则,则.
又平面，平面，则有平面，
又平面,故.…………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由，可得，………（7分）
- 11 -
建立如图所示空间直角坐标系，则有
，
故，.……………………（8分）
设平面的一个法向量为，
则有，即，
得，
同理，设平面的一个法向量为,
则有，可得，
……………………………………………（10分）
由图可知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）设，直线，
则将直线的方程代入抛物线的方程可得，
则，（*）
故.
因直线为抛物线在点处的切线，则
故直线的方程为，
- 11 -
同理，直线的方程为，
联立直线的方程可得，又由（*）式可得，
则点到直线的距离，
故，
由的面积的最小值为4，可得，故.……………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，则为直角三角形，
故①
由的三边长成等差数列，不妨设，可得②
联立①，②可得,
由，可得，
又，，
则，故，
得此时到直线的距离.………………………………………（12分）
（21）（Ⅰ）解：，
则，
记为的导函数，则，
故在其定义域上单调递减，且有，
则令可得，令得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.………………………………（5分）
（Ⅱ）令，则有时.
- 11 -
，
，
记为的导函数，则，
因为当时，，故.
①若，即，此时，故在区间上单调递减，当时有，故在区间上单调递减，当时有，故时，原不等式恒成立；
②若，即，令可得，故在区间上单调递增，故当时，，故在区间上单调递增，故当时，，故时，原不等式不恒成立.……………………………………………………………（11分）
综上可知，即的取值范围为.……………………………………………（12分）
（22）解：（Ⅰ）过点作圆的切线交直线于点，由弦切角性质可知，
,，
则，
即.
又为圆的切线，故，
故.……………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）若，则，又，
故,
由（Ⅰ）可知，故，
则，,即，
故.…………………………………………………………………………（10分）
- 11 -
（23）解：（Ⅰ）当时，将直线的参数方程化成直角坐标方程为，
曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为，
则圆的圆心为，半径……………………………………………………（3分）
则圆心到直线的距离，
则.……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由直线的方程可知，直线恒经过定点,记该定点为,弦的中点满足,故点到的中点的距离为定值1，当直线与圆相切时，切点分别记为.……………………………………………………………………………（7分）
由图，可知,则点的参数方程为
表示的是一段圆弧.…………………………………………………………………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）当时，，……………（2分）
当时，，得；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上可知，的解集为.……………………………………（5分）
- 11 -
（Ⅱ）当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
故，与题意不符；………………………………………………………………（7分）
当时，，
故在区间上单调递减，在区间单调递增；
故，
综上可知，的取值范围为………………………………………………………（10分）
- 11 -
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