湖北省武汉市2014届高三5月数学理科试题(三)及答案.doc

武汉市2014届高三5月供题（三）‎ 理科数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． ‎ ‎1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i=，则a＋bi=‎ A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i ‎2．命题“存在实数，使＞‎1”‎的否定是 A．对任意实数，都有＞1 B．不存在实数，使≤1‎ C．对任意实数，都有≤1 D．存在实数，使≤1‎ ‎3．在四边形ABCD中，，，则四边形的面积为 A． B． C．5 D．10‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S＝‎ A. B．‎ C. D．‎ ‎5．若函数在上是增函数，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎6．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 A． B． C． D． ‎8．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 A．5 B．6 C．7 D．8‎ 数学（理科）试卷 第9页 ‎9．函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数使得，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知两条直线：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图象从左至右相交于点A，B ，与函数的图象从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b ，当m 变化时，的最小值为 A． B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． ‎ ‎（一）必考题（11—14题）‎ ‎11．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝ ．‎ ‎12．满足约束条件的目标函数的最小值是 ．‎ ‎13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），‎ 则该几何体的体积为 m3．‎ ‎14．设为数列的前n项和，则 ‎（Ⅰ）__ ___；‎ ‎（Ⅱ）__ ．‎ ‎（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答 ‎15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切 线分别交DA、CA的延长线于E、F．已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为 ．‎ ‎16．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)（ω＞0）的最小正周期为π．‎ 数学（理科）试卷 第9页 ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A B C D E F G M 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=２EF．‎ ‎（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；‎ ‎（Ⅱ）若AC＝BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量 数学（理科）试卷 第9页 ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη=，Dη=，求a∶b∶c．‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 如图，已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”．‎ ‎（Ⅰ）设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”；‎ ‎（Ⅱ）求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使；‎ ‎（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为，证明：当时，有．‎ 武汉市2014届高三5月供题（三）‎ 数学（理科）试卷 第9页 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1．C 2．C 3．C 4．A 5．D ‎6．B 7．D 8．B 9．B 10．B 二、填空题 ‎11．4 12．－2 13．30 14．（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎15． 16．2‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx ‎＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋．‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，‎ 从而有＝π，故ω＝1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝2sin(2x＋)＋，‎ ‎∵0≤x≤，∴≤2x＋≤．‎ 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递增．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎ ‎ 数学（理科）试卷 第9页 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为EG//AB，FG//AC，，‎ 所以，∽.‎ 因为AB=2EF，所以BC=2FG.‎ 连结AF，由于FG//BC，FG=.‎ 在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点.‎ 则AM//BC，且AM=.‎ 所以FG//AM且FG=AM.‎ 所以四边形AFGM为平行四边形.‎ 所以GM//FA.‎ 又FA平面ABFE，GM平面ABFE.‎ 所以GM//平面ABFE.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 又EA⊥平面ABCD，所以AC、AAE两两垂直.‎ 分别以AC、AD、AE所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 不妨设AC=BC=2AE=2，则由题意得A（0，0，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），E（0，0，1），所以，.‎ 又，所以F（1，-1，1），.‎ 设平面BFC的法向量为，则 所以 ‎ 取，则.‎ 设平面ABF的法向量为，则 A B C D M E F G x y z 所以 ‎ 取，则.‎ 数学（理科）试卷 第9页 所以.‎ 因此，二面角A-BF-C的大小为.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得ξ=2，3，4，5，6．‎ ‎ 故P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，‎ P(ξ=5)==，P(ξ=6)== ．‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（Ⅱ）由题意知η的分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所以E(η)=++=，‎ D(η)=×+×+×= ．‎ 化简得解得a=3c，b=2c，‎ 故a∶b∶c=3∶2∶1‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）直线与C2有交点,则 ‎ ‎,若方程组有解,则必须; ‎ 直线与C2有交点,则 ‎ ‎,若方程组有解,则必须 ‎ 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. ‎ ‎（Ⅱ）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; ‎ 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 ‎ ‎ ‎ 数学（理科）试卷 第9页 直线与圆内部有交点,故 ‎ 化简得,............① ‎ 若直线与曲线C1有交点,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简得,.....② ‎ 由①②得, ‎ 但此时,因为,即①式不成立; ‎ 当时,①式也不成立 ‎ 综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, ‎ 即圆内的点都不是“C1-C2型点” . ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ)函数）的定义域为.‎ ‎.‎ 令，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎(Ⅱ)当时，.‎ 数学（理科）试卷 第9页 设，令.‎ 由(Ⅰ)知，在区间上单调递增.‎ ‎，.‎ 故存在唯一的，使得成立.‎ ‎(Ⅲ)因为，由(Ⅱ)知，，且，从而 ‎，其中.‎ 要使成立，只需.‎ 当时，若，则由的单调性，有，矛盾.‎ 所以，即，从而成立.‎ 另一方面，令.‎ 由，得.‎ 当时，；当时，.‎ 故对，.‎ 因此成立.‎ 综上，当时，有.‎ 数学（理科）试卷 第9页