中山市2014届高三数学综合试题（二）
理科
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。.
1. 已知集合，则
A． B.C.D．
2.已知为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数
A． B． C．D．
3. 设等比数列的前项和为，若，，则公比
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知、是两个不同的平面，、、是三条不同的直线，则下列命题正确的
A.若，则 B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.函数是
A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增
6.执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的k的值是
A．3 B.4 C.5 D.6
7将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，
5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率是
A． B． C． D．
8.（理）若函数在给定区间M上存在正数t，使得对任意x∈M，有x+t∈M，且≥，则称为M上的t级类增函数.给出下列命题：①函数=是上的1级类增函数；②若函数f(x)＝sinx+ax为[，+∞)上的级类增函数，则实数a的最小值为2；③若函数f（x）=x2-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）.其中正确命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
（一）必做题（9～13题）
9.不等式的解集为_______.
10.若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 .
11.已知,满足约束条件,若的最小值为,则_______
12.如果一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为.
13.已知、是双曲线（＞＞0）左右两个焦 点，为双曲线左支上一点，若的最小值为8，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知点是圆上的点，点是直线的点,则线段长度的最小值为 .
15．（几何证明选讲选做题）已知P是圆O外一点，PE切圆O于点E，B、F是圆O上一点，PB交圆O于A点，EF//AP,BE：BF=3:4，PE=4，则AB= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）在中,分别为的对边,且．(1)求的值；
(2)若,求的面积．
17.(本小题满分12分)甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为，相关行业质检部门规定：若 则该零件为优等品；若则该零件为中等品；其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：
尺寸
甲机床零件频数
2
3
20
20
4
1
乙机床零件频数
3
5
17
13
8
4
（1） 设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本一元.若将频率视为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；
(2)对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由.
参考公式：
参考数据：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
18.（本小题满分14分）如图，四棱柱中，平面．（1）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；①，②；③是平行四边形．
（2）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围．[来源:Z#xx#k
19.（本小题满分14分）已知数列满足，且对任意非负整数均有：.
（1）求；（2）求证：数列是等差数列，并求的通项；（3）令，求证：.
20．（本小题满分14分）
O
y
x
如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M（），且离心率为，过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，圆.
(1)求椭圆的标准方程； (2) 若点为椭圆上任意一点，
试探讨四边形与 圆的位置关系．
（3）在(2)条件下，求四边形面积的取值范围．
21．（本小题满分14分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
中山市2014届高三数学综合试题（二）参考答案
一、选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
D
C
B
C
C
二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
9． ； 10． 7 ； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ; 15
16.解析：(1)由余弦定理得， （2分）
由余弦定理得 . （6分）
(2).
又.（9分）
又，由正弦定理得.
故. （12分）
17. 解析：（1）设“甲机床生产一件零件获得的利润”为X元，它的分布列为
X
－1
1
3
P
则有E(X)=－＋＋==≈2.48 （元）
∴甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元（7分）
（2）由已知表中数据可得，样本频数2×2列联表如下
甲机床
乙机床
合计
优等品
40
30
70
非优等品
10
20
30
合计
50
50
100
计算K==≈4.762.（10分）
根据参考数据，并注意到3.8410,直线SQ的方程为代入椭圆方程为＋y2＝1得.由（Ⅱ）知
，，分子分母同时间除以得，记，则
显然在上是单调递增函数，，则又当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，；所以四边形面积的取值范围．（14分）
解析：（1）函数的定义域为，．（1分）
令，函数的定义域为．
①当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减．（3分）
②当时，，
（ⅰ）若，则>0,
由，即，得或；
由，即，得．
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
．(5分)
（ⅱ）若，则,
在上恒成立，即在上恒成立，
此时在上单调递增． （7分）
综上，当或时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（8分）
（2）解法一因为存在一个使得，
则，等价于. （9分）
令，等价于当时，.
对求导，得.（10分）
因为当时，，所以在上单调递增. （12分）
所以，. （14分）
解法二设，定义域为，
.
由题意至少存在一个，使得成立，
等价于当时，.（9分）
①当时，在恒成立，所以在单调递减，
只要，这与矛盾. （10分）
②当时，令得.
（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，
所以，
由得，，所以. （11分）
（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，
所以，由得. （12分）
（ⅲ）当，即时，在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增，
等价于或，解得，所以.
综上所述，实数的取值范围为. （14分）
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