中山市2014届高三数学综合试题（四）
理科
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．等比数列的前项和为,,则 （ ）
A．54 B．48 C．32 D．16
是
输入
输出
开始
结束
否
5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，
则输出的的值为（ ）
A． B．
C． D．
6． 在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在
正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
A B
A1 B1
D C
D1 C1
P
8. 如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形
（含三角形）的周长为y，设x，
则当时，函数的值域为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．已知，则= ．
10．在中，角的对边分别为，若，，，则______．
11． 若，满足约束条件则的最大值为 ．
12．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______．
13．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．
如：；
；
．
已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数 ；又，所以的所有正约数之和可表示为；
，所以的所有正约数之和可表示为；
按此规律，的所有正约数之和可表示为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为 ．
15．（几何证明选讲选做题）
如图4，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．若，，则= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的x值．
17．（本小题满分13分）
北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．
现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：
9
1
3
5
6
8
0
1
1
2
2
3
3
3
4
4
5
6
6
7
7
9
7
0
5
6
6
7
9
6
4
5
8
5
6
（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．
（ⅰ）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；
（ⅱ）记为在选出的名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，
，∥，且，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分13分）
已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.
20、（本小题满分14分）
已知圆的圆心为, 且，设为圆上任一点,线段的垂直平分线交直线于点.
（1）试讨论动点的轨迹类型；
（2）当时，设动点的轨迹为曲线,过上任一点作直线，与曲线有且只有一个交点，与圆交于点，若的面积是，求直线的方程.
21.（本小题满分14分）
已知数列{}、{}满足：．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求证数列是等差数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围
中山市2014届高三数学综合试题（四）
理科答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
D
C
B
B
D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案
(两空的题目第一空2分，第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分．
16．（本小题共12分）
解：（Ⅰ） …………2分
， ……………3分
，， ，， ………5分
所以函数的单调递增区间为． ……………6分
（Ⅱ）因为，， ……………8分
， ， ……………10分
所以当，即时，函数取得最小值．………12分
17．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．…………3分
（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 ．
所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．…6分
（ⅰ）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，
则 ． 故在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率为．…（ⅱ）解：随机变量的所有取值为．，
，． …………12分
所以，随机变量的分布列为:
． ……………13分
18．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
因为平面，平面，
所以. ……………1分
取的中点，连结，
因为底面为直角梯形，∥，，且，
所以四边形为正方形，所以，且，
所以，即. ……………3分
又，所以平面. ……………4分
（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．………5分
则，，，，
所以，，．
因为平面，所以为平面的一个法向量． ……6分
设平面的法向量为，
由，得
令，则，，
所以是平面的一个法向量． ………8分
所以
因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ………9分
（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．
设，则，．
设平面的法向量为，
由，得
令，则，，
所以是平面的一个法向量．…12分
因为∥平面，所以，即， ……………13分
解得，
所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．……14分
19.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当时，，，，得，………2分
所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分
（Ⅱ）.
当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；………5分
当时，时，，时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……7分
（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ………8分
因为，所以在上有解，即使成立，…9分
即使成立， …………10分
所以.
令，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则， ……………12分
所以. ……………13分
20．（本小题共14分）
解：（1）由题
当时，点在圆内，点在线段内
∴
∴动点的轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆…………………2分
当时，点在圆外，点在线段的延长线上
∴
∴动点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线…………………5分
（2）由（1）知时，动点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆
∴
∴曲线的方程是…………………6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由消并整理成（*）
∵与曲线有且只有一个交点
∴（*）方程有且只有一个实数解
∴即有…………………7分
∵圆心到直线的距离为，
∴弦长…………………9分
点到直线的距离为
∴的面积为即
∴＝得
∴
∴
当时，代入得
当时，代入得…………………12分
当直线的斜率不存在时，直线方程为或经检验不满足条件
综上所求直线方程为或…………………13分
21．（本小题共14分）
由条件可知恒成立即可满足条件，设
当时，恒成立
当时，由二次函数的性质知不可能成立
当时，对称轴 ，
在为单调递减函数．sj.fjjy.org
，
∴ ∴时 恒成立
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