广州二中2014届高考考前热身数学试题(理)及答案(PDF版).pdf

第 1 页 共 4 页 2014 届高三广州二中高考考前热身试题（二） 理 科 数 学 命题：邓军民 本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟 参考公式：锥体的体积公式 1 3VSh= ，其中 S 表示底面面积，h 表示锥体的高． 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)． 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．集合 {4,5, 3 ( 3) }M mm i=−+−（其中 i 为虚数单位）， {9,3}N = − ，且 MN≠∅∩ ，则实数 m 的值 为 ( ) A． 3− B．3 C．3或 3− D． 1− 2．某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人,现用分层抽样的方 法从中抽取一个容量为 720 的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（ ） A．180 B．240 C．480 D．720 3．在边长为 1 的等边 ABCΔ 中，设 ,,BCaCAbABc=== ，则 ab bc ca⋅ +⋅+⋅= （ ） A． 3 2 B．0 C． 3 2− D．3 4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形， 俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是（ ） A． 43 3 π B． 1 2π C． 3 3 π D． 3 6 π 5．下列命题错误．．的是（ ） A．命题“若 0m > ，则方程 2 0xxm+− =有实根”的逆否命题为：“若方程 2 0xxm+− =无实根，则 0m ≤ ”． B．“ 1x = ”是“ 2 320xx−+=”的充分不必要条件． C．命题“若 0xy = ，则 ,x y 中至少有一个为零”的否定是：“若 0xy ≠ ，则 ,x y 都不为零”． D．对于命题 :p Rx∃∈ ，使得 2 10xx++>）上一动点 P，当 12FPF∠ 最大时 12PF F∠ 的正切值为 2，则此椭圆离心率 e 的大小为 ． 12． 已知等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且 2 10S = ， 5 55S = ，则过点 (, )nPna 和 2(2,)nQn a++ (n∈N*)的直线的斜率是__________． 13．关于实数 x 的不等式 220xxa+ −−−>无解，则实数 a 的取值范围为 ． （二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，曲线 4sinρ θ=− 和 cos 1ρ θ = 相交于点 ,AB，则 AB ＝ ．  x —2 0 4 )(xf 1 —1 1 第 3 页 共 4 页 15．（几何证明选讲选做题） 如右图，已知： ABC△ 内接于 O圆 ，点 D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线，若 30B∠= °， 2=AC ，则OD 的长为 ． 三、解答题（本大题共计 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 () 223sin 2 3 sin cos 5cosf xx xxx=+ +． （1）求函数 ()f x 的周期和最大值； （2）已知 () 5f α = ，求 tanα 的值． 17．（本小题满分 14 分） 已知数列{}na 的前 n 项和是 nS ，且 1 13nnSa+ = )( ∗∈Nn ． （1）求数列{}na 的通项公式； （2）设 41log (1 )nnbS+=− )( ∗∈Nn ， 12 23 1 11 1 n nn T bb bb bb + =+++ ，求使 1007 2016nT ≥ 成立的最小的正整数 n 的 值． 18．（本小题满分 12 分） 已知关于 x 的一元二次函数 .14)( 2 +−= bxaxxf （1）设集合 P={1，2， 3}和 Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和b ， 求函数 )(xfy = 在区间[ ),1 +∞ 上是增函数的概率； （2）设点（ a ，b ）是区域 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > ≤−+ 0 0 08 y x yx 内的随机点，求函数 ),1[)( +∞= 在区间xfy 上是增函数 的概率． A C D B O第 4 页 共 4 页 19．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 E－ABCD 中，AB⊥平面 BCE，CD⊥平面 BCE， AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=1200，F 为 AE 中点． (1) 求证：平面 ADE⊥平面 ABE ； (2) 求二面角 A—EB—D 的大小的余弦值； （3）求点 F 到平面 BDE 的距离． 20．（本小题满分 14 分） 如图，已知直线 l： 2ykx= − 与抛物线 C： 2 2( 0)xpyp= −>交于 A，B 两点，O 为坐标原点， ( 4, 12)OA OB+=−− ． （1）求直线 l 和抛物线 C 的方程； （2）抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时， 求△ABP 面积最大值． 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 )1,0(,2)1ln()( 2 ≠≥+−+= kkxkxxxf 且 ． （1）当 2=k 时，求曲线 )(xfy = 在点 ))1(,1( f 处的切线方程； （2）求 )(xf 的单调减区间； （3）当 0=k 时，设 )(xf 在区间 )](,0[ *Nnn ∈ 上的最小值为 nb ，令 nn bna −+= )1ln( ， 求证： )(,112 * 242 1231 42 31 2 1 Nnaaaa aaa aa aa a a n n n ∈−+0 时， 函数 ),1[14)( 2 +∞+−= 在区是间bxaxxf 上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 80 (,) 0 0 ab ab a b ⎧ ⎫+ −≤⎧ ⎪ ⎪⎪ >⎨ ⎨⎬ ⎪ ⎪⎪>⎩⎩⎭ 构成所求事件的区域为三角形部分． …………………………………………10 分 由 ),3 8,3 16( 2 08 得交点坐标为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+ ab ba …………………………………………12 分 ∴所求事件的概率为 3 1 882 1 3 882 1 = ×× ×× =P …………………………………………14 分 19．(本小题满分 14 分) 解法 1：(1)证明：取 BE 的中点 O，连 OC，OF，DF，则 2OF //BA ………………2 分 ∵AB⊥平面 BCE，CD⊥平面 BCE，∴2CD //BA， ∴OF //CD，∴OC∥FD ………………4 分 ∵BC=CE，∴OC⊥BE，又 AB⊥平面 BCE． ∴OC⊥平面 ABE． ∴FD⊥平面 ABE． 从而平面 ADE⊥平面 ABE． ………………6 分 (2)二面角 A—EB—D 与二面角 F—EB—D 相等，由(Ⅰ)知二面角 F—EB—D 的平面角为∠FOD． BC=CE=2, ∠BCE=1200，OC⊥BE 得 BO=OE= 3 ，OC=1，∴OFDC 为正方形，∴∠FOD=450， ∴二面角 A—EB—D 的余弦值为 2 2 ． ……………………10 分 （3）∵OFDC 为正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面 EBD， ∴点 F 到平面 BDE 的距离为 1 2 FC，∴点 F 到平面 BDE 的距离为 2 2 ．……………14 分 解法 2：（1）取 BE 的中点 O，连 OC．∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又 AB⊥平面 BCE． 以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O－xyz， 则由已知条件有: ()0, 3, 2A ， ()0, 3, 0B ， ( )1, 0, 0 ,C ( )1, 0,1 ,D A B C E F D O第 5 页 共 7 页 ()0, 3,1 ,E − ()0,0,1F ……………………………2 分 设平面 ADE 的法向量为 ()111,,nxyz= ， 则由 n · EA = ()()111,, 0,23,2xyz⋅ 1123 2 0.yz= += 及 n · DA = ()()111,, 1,3,1xyz⋅− 11130.xyz= −+ + = 可取 n = ()0,1, 3− …………………………… 4 分 又 AB⊥平面 BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面 ABE， ∴平面 ABE 的法向量可取为 m ＝()1, 0, 0 ． ∵ n · m = ()0,1, 3− ·( )1, 0, 0 =0, ∴ n ⊥ m ，∴平面 ADE⊥平面 ABE．…… 6 分 （2）设平面 BDE 的法向量为 ()222,,p xyz= ， 则由 p · ED = ()()222,, 1,3,1xyz⋅ 22230.xyz= ++= 及 p · EB = ()()222,, 0,23,0xyz⋅ 223 0.y= = 可取 p = ( )1, 0, 1− ……… 7 分 ∵平面 ABE 的法向量可取为 m ＝()1, 0, 0 …………8 分 ∴锐二面角 A—EB—D 的余弦值为 cos ,mp< >= || |||| mp mp ⋅ ⋅ = 2 2 ，………… 9 分 ∴二面角 A—EB—D 的余弦值为 2 2 ． ……………………………10 分 （3）点 F 到平面 BDE 的距离为 ||2 2|| OF p p ⋅ = ．……………………………14 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（1）由 2 2, 2 ykx x py =−⎧ ⎨ =−⎩ 得, 2 240,xpkxp+−= ……………………2 分 设 ()()1, 1 2 2,,,Axy Bx y 则 ( ) 2 12 12 122, 4 2 4,xx pkyy kxx pk+=− += + −=−− 因为 ()()2 1212,2,24OA OB x x y y pk pk+=+ +=−− − =( )4, 12 ,−− 所以 2 24, 2 4 12. pk pk −=−⎧ ⎨−−=−⎩ 解得 1, 2. p k =⎧ ⎨ =⎩ ………………4 分 所以直线l 的方程为 22,yx= − 抛物线 C 的方程为 2 2.x y= − …………6 分 （2）方法 1：设 00(, ),Px y 依题意，抛物线过 P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大， A B C E F D O x y z第 6 页 共 7 页 'y x=− ，所以 0022,xx−=⇒=− 2 00 1 2,2yx= −=−所以 (2,2).P − − 此时 P 到直线l 的距离 22 2(2)(2)2 445,552(1) d ⋅− −− −=== +− ………………8 分 由 2 22, 2, yx x y =−⎧ ⎨ =−⎩ 得， 2 440,xx+−= ………………………10 分 22 22 12 12| | 1 ( ) 4 1 2 (4) 4(4)410AB k x x x x=+ + − ⋅=+ −−−= ∴△ABP 的面积最大值为 45410 5 822 ⋅ = ． …………………………14 分 （2）方法 2：由 2 22, 2, yx x y =−⎧ ⎨ =−⎩ 得， 2 440,xx+−= ……………………8 分 22 22 12 12| | 1 ( ) 4 1 2 (4) 4(4)410AB k x x x x=+ + − ⋅=+ −−−= ……9 分 设 21(, )2Pt t− ，(2 22 2 22)t−−