中山市2014届高三数学综合理科试题(一)及答案.doc

中山市2014届高三数学综合试题（一）‎ ‎ 理科 ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.)‎ ‎1.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是 A . B． C． D．‎ ‎2. 已知直线和平面， 则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎ ‎3. 已知是实数，则”且”是“”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 ‎4.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）‎ ‎ A.12 B‎.13 C.14 D.15‎ ‎5．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与 俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（　　）‎ A. B . C . D . ‎ ‎6．已知集合， ,‎ 且 ,则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线（，），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数有下列说法：‎ O y x P B A 第8题图 ‎①的值域为； ②是周期函数；‎ ‎③； ④.‎ 其中正确的说法个数为:‎ A.1 B. C. D. ‎ 二、填空题：(本大题共6小题,每小题5分,满分30分．)‎ ‎（一）必做题（8～13题）‎ ‎9．二项式的展开式中常数项是 。‎ ‎10．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：‎ x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ y ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 由最小二乘法求得回归方程为，现发现 表中有一个数据丢失了，请推断该点数据的值为　 ‎ ‎11．某程序框图如图1所示，则输出的结果S= ‎ ‎12.已知，且，则的最小值为 ‎ ‎13.下图所示一系列数表依次是三项展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数。依此类推, 数表6的第3行第1个数为______，数表6的第5行第3个数为______.‎ ‎（二）选做题：考生从下面两题中任选一题。两题都选者按14题给分。‎ ‎14．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 ‎ ‎15. 如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以 AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于 点E. 若EB＝6，EC＝6，则BC的长为 ．‎ 三、解答题：（共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数在时取得最大值2．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎17.（本小题满分12分）某厂家将一批产品卖给某商家时，商家按合同规定需随机抽取一定数量的产品进行检验.‎ ‎（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率都为0.8，商家对其中的任意3件产品进行检验.求恰有2件是合格品的概率；‎ ‎（2）若厂家发给商家10件产品，其中有2件不合格，若该商家从中任取2件进行检验。设该商家可能检验出不合格产品的件数为，求的分布列及期望E。‎ ‎18. (本小题满分14分)‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABDE为直角梯形，， ，，，是的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）求三棱锥的体积。‎ ‎19．（本小题满分14分）椭圆的中心在原点，它的短轴长是，一个焦点，直线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点。‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）若求直线PQ的方程。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知正项数列的前项和为，且 .‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）是否存在非零整数，使不等式 对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设，，其中是常数，且．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；‎ ‎（3）设，且，‎ 证明：对任意正数都有：．‎ 中山市实验中学2013—2014学年度高三数学（理科）答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C D A A B B D B ‎9. ； 10. ； 11. 57； 12. 32 ； ‎ ‎13. 10 , 30 ； 14. 15. 2. ‎ ‎16．（本小题满分12分）．‎ 解：（1） f（x）的解析式是； （6分）‎ ‎（2）==．（12分）‎ ‎17．解：（1）记“厂家任取3件产品检验，恰有2件是合格品”为事件A ‎ 则 …………（5分）‎ ‎（2）可能的取值为 ………………………………（6分）‎ ‎，，………（9分）‎ 所以，的分布列为（略） …………………………（10分）‎ ‎ ………………………………（12分）‎ ‎18.解：（1），，，即；‎ 又，；平面；‎ 平面；平面平面…（4分）‎ ‎（2）解法一：(解题思路)连接DM,可证得ＤＭ平面ＣＭＥ，过Ｍ作ＭＦＣＥ交ＣＥ于点Ｆ，连接ＤＦ，则ＤＦＭ即为二面角的平面角。‎ 计算得：。………（9分）‎ 解法二：以Ｃ为原点，ＣＡ，ＣＢ分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系。‎ 计算得，平面CDE的法向量；平面CEM的法向量。‎ ‎，所以，二面角的余弦值为 。‎ 解法三：以M为原点，MB，MC分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系。‎ 计算得，平面CDE的法向量；平面CEM的法向量。‎ ‎，所以，二面角的余弦值为 。‎ ‎（3）……（14分）‎ ‎（此题还有其它正确做法，请酌情给分）‎ ‎19．解：（1）----------------------------------（1分）‎ 而 ，，即,--------(2分)‎ ‎ 椭圆方程为-----（4分）‎ ‎（2）设与椭圆交于，方程为---------（6分）‎ ‎ -----------(7分)‎ ‎ 把代入 ---------(8分)‎ ‎ ----------（9分）‎ ‎ ‎ ‎ -------(11分)‎ ‎ ---------------------------(12分)‎ ‎ 直线的方程为.-----（14分）‎ ‎20．（1） 当时，，解得或（舍去）．……1分 当时，由，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴是首项为2，公差为2的等差数列，故． ………………4分 另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．‎ ‎（2）‎ ‎∴当时，‎ ‎. ‎ 当时，不等式左边显然成立. ……………… 9分 ‎（3）由，得，‎ 设，则不等式等价于.‎ ‎ ∵，∴，数列单调递增. …………………… 11分 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ‎① 当为奇数时，得； ……12分 ‎② 当为偶数时，得，即. ……13分 综上，，由是非零整数，知存在满足条件．… 14分 ‎21．（本题满分14分）‎ 解析：（1），-----------1分 所以，， -----------------2分 由得，‎ ‎∴，即，解得 ---------------3分 故函数的单调递增区间是 -----------------4分 ‎（2）∵，‎ 又当时，令，则，‎ 故，‎ 因此原不等式化为，即，----------------6分 令，则，‎ 由得：，解得，‎ 当时，；当时，．‎ 故当时，取最小值，-----8分 令，则．‎ 故，即．‎ 因此，存在正数，使原不等式成立． -------------10分 ‎（3）对任意正数，存在实数使，，‎ 则，，‎ 原不等式，‎ ‎ ---------------12分 由（1）可得恒成立，‎ 故，‎ 取，即得，‎ 即，故所证不等式成立． -----------------14分