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成都经开区实验中学2015级高三上学期1月月考试题
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则是（ ）
A． B．
C． D．
2．设向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若⊥，则实数x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3.下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是( )
①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；
②由向量a的性质|a|2＝a2可以类比复数的性质|z|2＝z2；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
A.② B.①② C.①③ D.③
4.中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题：今有女子擅织，日增等尺，七日织四十九尺，第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺，则第九日所织尺数为（ ）
A. 11 B. 13 C．17 D．19
5．等差数列中， ， ，则数列的前9项的和等于( )
A. 66 B. 99 C. 144 D. 297
6.从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为( )
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A.2 B.3 C.4 D.5
7.平面直角坐标系中，点和分别在顶点为原点始边为轴的非负半轴的角和的终边上，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．8
8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
． ．
． ．
9.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)( )
A.3 B.2 C. D.1
10．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0
11．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )
A．k>4 B．k>5 C．k>6 D．k>7
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12．已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与的左支交于两点，若，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知实数满足，则当取得最小值时，__________．
14.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为 ．
15．已知，则 ．
16．将全体正整数从左向右排成一个直角三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ．．．
．．． ．．．
．．． ．．．
．．．．．．．．．．．．
按照以上排列的规律，若定义，则= .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．
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（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．
19.（本题满分12分）某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．
（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；
（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为，求的分布列及数学期望．
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20.(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为.
(Ⅰ)求；
（Ⅱ）证明：.
21.(本小题满分12分)设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的最值；
（Ⅱ）若函数有极值点，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围．
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成都经开区实验中学2015级高三上学期1月月考试题
数 学（理科）参考答案
1—5 ADACB 6—10 BBCDA 11—12 BD
13.【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图内部）所示。
令，则。
平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值。
由 解得。
∴。答案：
14.
15. 【解析】因为，且为锐角，所以.
16. 190
17.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，
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解得或（舍），所以.
（Ⅱ）由，可得
，
当为偶数时，
.
当为奇数时，为偶数，于是
。
18．（本题满分12分）（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，
所以，又，所以，
又因为，而，且，
所以平面，又因为，
所以．
（2）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
于是，
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求得平面的一个法向量为，
由，求得平面的一个法向量
为，则，
所以二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）的所有可能取值为1,2,3,4．
；；；.
分布列为：
1
2
3
4
．
20.【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为，
由题意可得()，故 ……………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，(，从而等价于
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设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递减，在()单调递增，从而()在()¥的最小值为(. ……………8分
设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递增，在()单调递减，从而()在()¥的最小值为(.
综上：当时，，即. ……………12分
21.解：（Ⅰ）当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，且．
（Ⅱ）令，，
当时，，函数在上递增，无极值点；
当时，设， .
①若，，，函数在上递增，无极值点；
②若时，，设方程的两个根为，（不妨设），
因为，，所以，，
所以当，，函数递增；
当，，函数递减；
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当，，函数递增；
因此函数有两个极值点.
当时， ，由，可得，
所以当，，函数递增；
当时，，函数递减；
因此函数有一个极值点．
综上，函数有一个极值时；函数有两个极值点时．
22.【解析】（Ⅰ）∵，
∴，
∴圆的直角坐标方程为，即
∴圆心的直角坐标为.
（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为
，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.
23.解：（Ⅰ）由，得，即，
当当时，，所以无解．
所以．
（Ⅱ）因为，
所以要使存在实数解，只需，
解得或，
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所以实数的取值范围是．
时，，所以解得；
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