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2018年中考模拟卷（二）
时间：120分钟 满分：120分
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在下列各数中，比－1小的数是（ ）
A.1 B.－1 C.－2 D.0
2.某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（ ）
A.3.82×10－4 B.3.82×10－5 C.3.82×10－6 D.38.2×10－6
3.如图所示是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（ ）
4.下列运算正确的是（ ）
A.a6＋a3＝a9 B.a2·a3＝a6
C.（2a）3＝8a3 D.（a－b）2＝a2－b2
5.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
6.已知：如图，O为⊙O的圆心，点D在⊙O上，若∠AOC＝110°，则∠ADC的度数为（ ）
A.55° B.110° C.125° D.72.5°
第6题图 第7题图 第8题图
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7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得（单位：尺），则井深为（ ）
A.1.25尺 B.57.5尺 C.6.25尺 D.56.5尺
8.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0. 77，tan40°≈0.84）（ ）
A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米
9.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为（ ）
A.2cm B.2cm C.4cm D.4cm
第 9题图 第10题图
10.如图，直线y＝x与双曲线y＝（k>0，x>0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k>0，x>0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（ ）
A.3 B.6 C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.分解因式：x3－4x＝ .
12.如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 .
第12题图 第14题图 第15题图
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13.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 .
14.某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”的成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是 个.
15.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ .
16.设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b，…，则b＝ .
17.在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′称为点P的“倒影点”，直线y＝－x＋1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上.若AB＝2，则k＝ .
18.如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝.其中正确结论的序号是 .
三、解答题（共66分）
19.（6分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数.
20.（6分）（1）计算：（2017－π）0－＋|－2|；
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（2）化简：÷.
21.（8分）如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接AE，CF.求证：AE＝CF.
22.（8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t
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＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）求调查的总人数并补全条形统计图；
（2）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率.
23.（8分）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以3∶1的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来.
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
24.（8分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E.
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（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径.
25.（10分）四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD.
（1）如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
（2）如图②，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
26.（12分）如图，二次函数y＝kx2－3kx－4k（k≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC＝OA.
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（1）求点A坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标.
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参考答案与解析
1．C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A
9．B 解析：∵点E，F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG＝HG.由折叠的性质可得∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGH＝∠AGD＝90°，∠BAH＝∠HAG.易证△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝∠BAD＝30°.在Rt△ABH中，AH＝AD＝4，∠BAH＝30°，∴HB＝2，AB＝2，∴CD＝2.
10．D 解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，则易得△AOD∽△CBE.由两个三角形相似可得＝＝＝3.设点A的横坐标为3a，则其纵坐标为，则BE＝＝a，CE＝＝.∵直线BC是由直线AO向上平移4个单位得到的，∴CO＝4，∴EO＝4＋，即点B的坐标为.又∵点A，B都在双曲线y＝上，∴k＝3a·＝a·，解得a＝1(舍去0)，∴k＝.
11．x(x－2)(x＋2) 12.24
13．50(1－x)2＝32 14.183 15. 16.128
17．－ 解析：设点A(a，－a＋1)，B (b，－b＋1)(a＜b)，则A′，B′.∵AB＝2，∴b－a＝2，即b＝a＋2.∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴解得k＝－.
18． ①②④ 解析：∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6.∵AD＝BC＝3，∴DF＝＝3，∴F是CD中点，∴①正确；如图，连接OP.∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD.∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴＝.设OP＝OF＝x，则AO＝6－x，＝，解得x＝2，即⊙O的半径为2，∴②正确；∵在Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF.∵∠AFE＝90°，∴∠EFC＝90°－∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，∴③错误；如图，连接OG，PG，作OH⊥FG.∵∠AFD＝60°，OF＝OG，∴△OFG为等边三角形．同理，△OPG为等边三角形．∴∠POG＝∠FOG＝60°，OH＝OG＝，S扇形OPG＝S扇形OGF，∴S阴影＝(S矩形OPDH－S扇形OPG－S△OGH)＋(S扇形OGF－S△OFG)＝S矩形OPDH－S△OFG＝2×－
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＝.∴④正确．故答案为①②④.
19．解：∵∠AEC＝42°，∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.(2分)∵EF平分∠AED，∴∠DEF＝∠AED＝69°.(4分)又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°.(6分)
20．解：(1)原式＝1－4＋2＝－1.(3分)
(2)原式＝÷＝·＝.(6分)
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∴AF∥EC.(3分)∵DF＝DC，BE＝BA，∴BE＝DF，∴AF＝EC，(6分)∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF.(8分)
22．解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．(2分)C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．(4分)
(2)画树状图如下．(6分)共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝＝.(8分)
23．解：(1)设该商家第一次购进机器人x个，依题意得＋10＝，解得x＝100.(2分)经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意．(3分)
答：该商家第一次购进机器人100个．(4分)
(2)设每个机器人的标价是a元．则依题意得(100＋200)a－11000－24000≥(11000＋24000)×20%，解得a≥140.(7分)
答：每个机器人的标价至少是140元．(8分)
24．(1)证明：连接OD.(1分)∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN.(3分)∵DE⊥MN，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(4分)
(2)解：连接CD.∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°.在Rt△AED中，DE＝6cm，AE＝3cm，∴AD＝
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＝3cm.(6分)∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴＝，即AC＝，∴AC＝15cm，∴OA＝AC＝7.5cm，即⊙O的半径是7.5cm.(8分)
25．解：(1)AC＝AD＋AB.(1分)理由如下：在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴AB＝AC，同理AD＝AC.∴AC＝AD＋AB.(3分)
(2)(1)中的结论成立．(4分)理由如下：如图②，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边与AB的延长线交于点E.∵∠BAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝AE＝CE.∵∠D＋∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE.∵∠D＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠D＝∠CBE.∵CA＝CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD＝BE，∴AC＝AD＋AB.(6分)
(3)结论：AD＋AB＝AC.(7分)理由如下：如图③，过点C作CE⊥AC与AB的延长线交于点E.∵∠D＋∠ABC＝180°，∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°.∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∴∠E＝45°.∴AC＝CE.又∵∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD＝BE，∴AD＋AB＝AE.(9分)在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴AE＝＝AC，∴AD＋AB＝AC.(10分)
26．解：(1)当y＝0时，kx2－3kx－4k＝0.∵k≠0，∴x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B(－1，0)，A(4，0)．(2分)∵OA＝OC，∴C(0，4)．把x＝0，y＝4代入y＝kx2－3kx－4k，得k＝－1，则抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.(4分)
(2)①当∠PCA＝90°时，过点P作PM⊥y轴于M，如图①，∴∠MCP＋∠ACO＝90°.∵∠OAC
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＋∠ACO＝90°，∴∠MCP＝∠OAC.∵OA＝OC，∴∠MCP＝∠OAC＝45°，∴∠MCP＝∠MPC＝45°，∴MC＝MP.设P(m，－m2＋3m＋4)，则PM＝CM＝m，OM＝－m2＋3m＋4，∴m＋4＝－m2＋3m＋4，解得m1＝0(舍去)，m2＝2，∴－m2＋3m＋4＝6，即P(2，6)．(6分)
②当∠PAC＝90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，如图②，则有PN∥x轴，∴∠FPN＝∠OAP.∵∠CAO＝45°，∴∠OAP＝45°，∴∠FPN＝45°，AO＝OF＝4，∴PN＝NF，设P(n，－n2＋3n＋4)，则PN＝－n，ON＝n2－3n－4，∴－n＋4＝n2－3n－4，解得n1＝－2，n2＝4(舍去)，∴－n2＋3n＋4＝－6，即P(－2，－6)．
综上所述，点P的坐标是(2，6)或(－2，－6)．(8分)
(3)当点Q的坐标是或时，线段EF的长度最短．(12分) 解析：如图③，∵∠OED＝∠DFO＝∠EOF＝90°，∴四边形OEDF是矩形，∴EF＝OD.∴当线段EF的长度最短时，OD最小，此时OD⊥AC.∵OA＝OC，∴∠COD＝∠AOD＝45°，CD＝AD.∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，∴＝＝，∴FD＝OC＝2，∴yQ＝2，解－x2＋3x＋4＝2，得x1＝，x2＝，∴点Q的坐标是或.
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