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泸县第二中学2018届高三上学期期末考试
数学(理)试题
考试时间:120分钟 满分:150分
注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题 60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合, ,则是
A. B. C. D.
2.已知,则“”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若复数(, 为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为
A. -6 B. -2 C. D. 6
4.下列程序框图中,输出的的值是
A. B. C. D.
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则=
A. B. C. D.
6.的展开式中, 的系数为
A. B. C. D.
7.已知随机变量X服从正态分布N(3,δ2),且P(x≤6)=0.9,则P(0<x<3)=
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A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则图象的一条对称轴为
A. B. C. D.
9.已知三棱锥中,侧面底面 ,则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
11.在中, , , 的交点为,过作动直线分别交线段 于两点,若, ,( ),则的最小值为
A. B. C. D.
12.已知偶函数的导函数为,且满足,当时, ,则使成立的的取值范围为
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 90分)
试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上,答在试卷上概不给分.
二、填空题(本大题共4个小题,5分每题,共20分)
13.若,且,则 .
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14.已知实数,满足则的取值范围为 .
15.将4个男生和3个女生排成一列,若男生甲与其他男生不能相邻,则不同的排法数有 种(用数字作答)
16.从随圆()上的动点作圆的两条切线,切点为和,直线与轴和轴的交点分别为和,则面积的最小值是__________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图,在中,点在边上,且, , , .
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
18.(本小题满分12分)
北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量, 获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
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非围棋迷
围棋迷
合计
男
女
10
55
合计
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.
附: ,其中.
0.05
0.01
3.841
6.635
19.(本小题满分12分)
已知直角梯形中, , , , 、分别是边、上的点,且,沿将折起并连接成如图的多面体,折后.
(Ⅰ)求证: ;
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(Ⅱ)若折后直线与平面所成角的正弦值是,求证:平面平面.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆经过不同的三点在第三象限),线段的中点在直线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点的坐标;
(Ⅱ)设点是椭圆上的动点(异于点且直线分别交直线于两点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个极值,其中,求的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
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22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),
直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (Ⅱ)若,求的值.
23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
(1)设函数,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知正数满足,求的最小值.
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2017年秋四川省泸州市泸县第二中学高三期末考试
数学(理)参考答案
1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.D 12.B
13. 14. 15.1440 16.
17.解:(Ⅰ)如图所示, ,
故, ;设,则, .
在中,由余弦定理
,
即,
解得, .
(Ⅱ)在中,由,得,故
,
在中,由正弦定理:,
即,故,
由,得,.
18.解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,从而列联表如下
非围棋迷
围棋迷
合计
男
30
15
45
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女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算,得
因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.
(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意,从而的分布列为
0
1
2
3
. .
19.解:(Ⅰ)∵, ,
∴, ,
又, ,
∴平面, ,
又, ,
∴平面, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可如图建立空间直角坐标系,
作于,连,由(Ⅰ)知,
即为与平面所成角,设, ,
而直线与平面所成角的正弦值是,即.
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(或:平面的法向量是, , , ,
则).
易知平面平面于,取的中点,则平面,
而,则平面的法向量是,
(或另法求出平面的法向量是),
再求出平面的法向量,
设二面角是,则,
∴平面平面.
20.解:(Ⅰ)由点在椭圆上,得解得所以椭圆的方程为
由已知,求得直线的方程为从而(1)
又点在椭圆上,故(2)
由(1)(2)解得(舍去)或从而所以点的坐标为
(Ⅱ)设
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因三点共线,故整理得
因三点共线,故整理得
因点在椭圆上,故,即
从而
所以为定值.
21.解:(1)由题意得,其中,
令, ,
①当时,令,得, ,
所以, 在单调递增;
②当时, , 在单调递增;
③当时,令,得, ,且
可知当时, ,
在单调递增;
当时, ,
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在单调递减;
当时, ,
在单调递增;
综上所述,当时, 在单调递增;
当, 在和单调递增,
在单调递减;
(2)由(1)知,
由题意知是的两根,
∴, ,
可得, ∵,∴
令,
则有
当时, , 在上单调递减,
的最小值为:,即的最小值为.
22.解:(1)由得
∴曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为
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(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,
得;设两点对应的参数分别为
则有 ∵,∴即
∴即,解之得: 或者(舍去),∴的值为1
23.(1)
∵原命题等价于,,.
(2)由于,所以
当且仅当,即时,等号成立. ∴的最小值为.
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