由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
第一篇代数
第1章实数
1.1实数的运算
1.1.1★计算:
.
解析 将及分别分解为两数的积,得
,
,
所以,原式.
评注 一般地有
;;;…
1.1.2★计算:
.
解析
原式.
1.1.3★计算:.
解析原式.
评注 在做分数加减法运算时,根据特点,将其中一些分数适当拆开,使得拆开后有一些分数可以相互抵消,达到简化运算的目的,这种方法叫拆项法.本例中,我们把拆成,即有
.
其他常用的拆项方法如:
(1).它经常用于分母各因子成等差数列,且公差为的情形.
(2).
1.1.4★计算:.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析原式
.
1.1.5★★计算:
.
解析 因为,所以
原式
.
1.1.6★★计算:.
解析 因为
,
所以
原式
.
1.1.7★★设,求与最接近的正整数.
解析 对于正整数,有
,
所以
.
因为,所以,与最接近的正整数为25.
1.1.8★★2008加上它的得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
又得到一个数,…,依此类推,一直加到上一次得数的.最后得到数为
.
1.1.9★计算:
.
解析 因为
,
所以
.
1.1.10★计算:
.
解析
1.1.11★★计算:
.
解析 因为
,
,
,
……
,
所以
.
1.1.12★★计算:.
解析
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
.
1.1.13★★计算:.
解析 设,则
,
所以,
故.
评注 一般地,对于求和:,我们常常采用如下方法,令
,
则,
于是,
.
1.1.14★★计算:.
解析 设,则,所以
,.
1.1.15★计算:
.
解析 设,
,
则原式.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
1.1.16★★计算下列繁分数:
(2008个减号).
解析 先耐心地算几步,从中发现规律.可将用字母代替(这样可以得到更一般的结论).自下而上逐步算出
,
,
.
由此可见,每计算3步,又重新出现,即3是一个周期.而,所以,原式.特别地,在时,得出本题的答案是.
1.1.17★★比较与2的大小.
解析先将中的每一个数拆成两数的差:
,,,
,,.
所以,
=,
好
1.1.18★★★已知
,问:的整数部分是多少?
解析 我们只要估算出在哪两个相邻整数之间即可.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
.
这里,
下面进一步估计介于哪两个相邻整数之间.
,
.
所以,,.
即的整数部分是101.
1.1.19★★在数,,,,,,,的前面分别添加“”或“”,使它们的和为1,你能想出多少种方法?
解析 这8个有理数的分母都是10,只要2,3,4,5,6,7,8,9这8个整数的代数和为10即可,而,所以添加“”或“”后,正数的和应为.
方法很多.如
,
,
,
,
等.
1.1.20★★计算
.
解析 因为
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
,
所以,原式等于
.
1.1.21★★★求和:.
解析因为,所以
,
原原式
.
1.1.22★★已知,其中为正整数,证明:
.
解析 注意到
,
所以
.
1.1.23★★★求下列分式的值:.
解析 由于
.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由此,
原式
.
评注 对通项的分子分母同乘2,发现可以首尾配对是本题的关键.
1.1.24★★设,求的整数部分.
解析 对于,,,,因为
,
所以
,
于是有,故的整数部分等于4.
1.2实数与数轴
1.2.1★数、在数轴上对应的点如图所示,试化简.
解析 由图可知,,而且由于点离原点的距离比点离原点的距离大,因此.我们有
.
评注本题由图,即数轴上、两点的位置,“读”得,,等条件,从而去掉绝对值符号,解决问题.
1.2.2★已知,化简:.
解析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.
原式(因为)
(因为)
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
.
1.2.3★若,化简.
解析因为,所以,从而
,,
,
.
因此,原式.
评注 根据所给的条件,先确定绝对值符号内的代数式的正负,然后化去绝对值符号.若有多层绝对值符号,即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号(如本题中的分子),通常从最内层开始,逐层向外化去绝对值符号.
1.2.4★化简:.
解析 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简,只要考虑的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们是分是一个分界点.类似地,对于而言,是一个分界点.为同时去掉两个绝对值符号,我们把两个分界点和标在数轴上,把数轴分为三个部分(如图所示),即
,,.
这样我们就可以分类讨论化简了.
(1)当时,
原式;
(2)当时,
原式;
(3)当时,
原式.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
即
评注 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数成分几个部分,根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.
1.2.5★设,且,试化简
.
解析 因为,,所以.,即,所以
,,
因此
.
1.2.6★★化简.
解析 先找零点.
由得.由即,得,
从而或.由得.
所以零点共有,,三个.因此,我们应将数轴分成4个部分,即
,,,.
当时,
原式
.
当时,
原式
.
当,
原式
.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
当时,
原式
.
即
原式
评注 由于本例中含又重绝对值,采用零点分段法时,不要忘了考虑的零点.
1.2.7★★若的值恒为常数,求满足的条件及此常数的值.
解析 要使原式对任何数恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含的项相加为零,即的系数之和为零,故本题只有一种情况.因此必须有且.故应满足的条件是
解得.
此时,原式.
1.2.8★★如果,且,求的最大和最小值.
解析(1)当时,有
,
所以.
(2)当时,有
,
所以.
综上所述,的最值是3,最小值是.
1.2.9★★求代数式的最小值.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析 设,根据绝对值的几何意义,我们知道表示数轴上对应的点到对应、、的点的距离之和,下面分类讨论:
当时,;
当时,;
当时,.
因此,当时,取最小值25.
1.2.10★★如果为有理数,求代数式的最小值.
解析 分,,,,五个部分进行讨论.去掉绝对值符号,经过化简得到:
当时,原式,最小值为17;
当时,原式,最小值为15;
当时,原式,是一固定值;
当时,原式,最小值大于15;
当时,原式,最小值大于15.
综上所述,原代数式的最小值为15.
评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解.本题就是要在数轴上找一点,使它到、、1、3的距离之和最小.这一点显然应在与之间(包括这两点)的任意一点,它到、、、的距离之和为15,就是要求的最小值.
1.2.11★★已知,,且
,
求的最大值和最小值.
解析由题设条件知:,.
于是,.所以
(1)当时,有
,
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
所以 .
(2)当时,有
,
所以 .
因此,的最大值是为7,最小值为3.
1.2.12★★已知
,求的最大值.
解析 首先使用“零点分段法”将化简,然后在各个取值范围内求出的最大值,再加以比较,从中选出最大者.
有三个分界点:,,.
(1)当时,,由于,所以,的最大值是.
(2)当时,,由于,所以,的最大值是6.
(3)当时,,由于,所以,的最大值是6.
(4)当时,,由于,所以,的最大值是0.
综上可知,当时,取得最大值为6.
1.2.13★★★设,求
的最小值.
解析 设、、、、在数轴上的对应点分别为、、、、,则表示线段之长,同理,,,分别表示线段,,之长,现要求,,,这和的值最小,就是要在数轴上找一点,使该点到、、、四点距离之和最小.
因为,所以、、、的排列应如图所示:
所以当在、之间时,距离和最小,这个最小值为,即.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
1.2.14★★、为有理数,且,试求的值.
解析 当时,由得,故此时.
当时,由,得,故此时.
所以,不管是还是,、中至少有一个为0,因此,.
1.2.15★★若、、为整数,且,试计算的值.
解析 因为、、均为整数,则,也应为整数,且,为两个非负整数,和为1,所以只能是
且, ①
或者且. ②
由①有且,于是;由②有且,于是.无论①或②都有
且,
所以 .
1.2.16★★★将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为,另一个数记为,代入代数式中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得个值,求这50个值的和的最大值.
解析 代数式的值就是、中的较大数,为保证所计算出的50个值之和最大,分组时不要把51,52,…,100这50个数中任两个分成一组即可.
对于任意一组中的两个数、,不妨设,则代数式
.
于是这50个值之和与大数有关,所以,这50个值的和的最大值为
.
1.2.17★★★设个有理数,,…,满足
,且
,
求的最小值.
解析 先估计的下界,由,及,知
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
,
所以,.
又当时,取
满足已知条件,所以,正整数的最小值为20.
1.3实数的判定
1.3.1★★证明循环小数是有理数.
解析 要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式.设
, ①
两边同乘以100得
. ②
②①得
,
所以 .
既然能写成两个整数比的形式,从而也就证明了是有理数.
1.3.2★★已知是无理数,且是有理数,在上述假定下,分析下面四个结论是:
(1)是有理数;
(2)是无理数;
(3)是有理数;
(4)是无理数.
哪些是正确的?哪些是错误的?
解析 取无理数,这时
是有理数,而是无理数,故结论(1)不正确.仍取,仿上可知结论(3)不正确.由于
,
且是有理数,是无理数,故是无理数,即结论(2)正确.同样,由
,
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
知结论(4)正确.
1.3.3★★求证:是有理数.
解析 要证明所给的数能表示成(,为整数,)的形式,关键是要证明是完全平方数.
,
所以
.
因为与3均为整数,所以是有理数.
1.3.4★★证明是无理数.
解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事.由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法.
假设不是无理数,则必为有理数.设(、是互质的正整数),两边平方有
,①
所以一定是偶数.设(是正整数),代入①得
,,
所以也是偶数.、均为偶数和与互质矛盾,所以不是有理数,于是是无理数.
评注只要是质数,就一定是无理数,这个结论的证明并不困难,请自行完成.
1.3.5★★设是正整数,是有理数,则必是完全平方数;反过来,如果是完全平方数,则是有理数(而且是正整数).
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析第二个结论显然成立,下面证明第一个结论.因是有理数,故可设(、为互质的正整数),从而
. ①
我们知道,任何一个平方数的质因数分解式中,每一个质因数的指数都是正偶数(反过来也成立);而非平方(自然)数的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数.由此可见,如果不是完全平方数,那么无论与有无相同的质因数,在的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数,即不是平方数.
这样①式不可能成立.所以,是完全平方数.
评注 本题是一个重要的结论,它可作为定理使用,读者应熟悉它.有了这个结论,可以立即断定、、等都是无理数.
1.3.6★★设、及都是整数,证明:及都是整数.
解析 由于负数不能开平方,故由题设知、都是非负整数.若或,易知结论成立.若、都是正整数,由,两边平方得
,
所以.
由所设、及都整数,故是有理数,从而是平方数,故是整数,从而是整数.
1.3.7★★求满足等式
的有理数、.
解析 把原式两边立方,得
.
因、是有理数,故
解得,或,,易检验它们都满足原式.
1.3.8★★求满足条件
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
的正整数、、.
解析将原式两边平方得
.①
显然,是无理数,假设是有理数,则是有理数,这与①式矛盾,所以必为无理数.
由①式变形为
.
假设,则必为非零有理数,设为,即,所以有
,
两边平方得
,
所以.
因为,所以是无理数,而是有理数,矛盾.所以
且.
所以
又因为,所以,所以满足条件的正整数为:,,或,,.
1.3.9★★若(其中、、、为有理数,为无理数),则,,反之,亦成立.
解析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明.
将原式变形为.若,则.
因为是无理数,而是有理数,矛盾.所以必有,进而有.
反之,显然成立.
评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质.
1.3.10★★设与是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析 假设是有理数,设其为,即
.
整理得 .
由1.3.9题知
,,
即,这与已知矛盾.所以原假设是有理数错误,故是无理数.
评注 本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结论.解这样的问题时,可以先找到一个立足点,如本例以为有理数作为立足点,以其作为推理的基础.
1.3.11★★★已知、是两个任意有理数,且,求证:与之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).
解析 只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明.
因为,所以,所以
.
设,显然是有理数(因为、为有理数).因为,所以,同理可证.设,显然也是有理数,依此类推,设, 为任意正整数,则有,且为理数,所以在和 之间存在无穷多个有理数.
1.3.12★★★已知在等式中,、、、都是有理数,是无理数,问:
(1)当、、、满足什么条件时,是有理数;
(2)当、、、满足什么条件时,是无理数.
解析 (1)当,时,为有理数.
当时,有
,
所以,只有当,即时,为有理数.
故当,且;或,且时,为有理数.
(2)当,,时,为无理数.
当时,有
,
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
故只有当,即时,为无理数.
所以,当,,;或,,为无理数.
1.3.13★★已知、是两个任意有理数,且,问是否存在无理数,使得成立?
解析 因为,,所以
,
即. ①
又因为,所以
,
即. ②
由①,②有
,
所以.
取
.
因为、是有理数,且,所以是无理数,即存在无理数,使得成立.
1.3.14★★已知数的小数部分是,求
的值.
解析 因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这类涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的),然后再寻求其小数部分的表示方法.
因为,即,所以的整数部分为3.设,两边平方得
,
所以.
.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
1.3.15★★已知:、是有理数,,且满足,试求的值.
解析 将代入方程,得
,
化简,得.
因为、都是有理数,则
解方程组,得所以.
评注 本题应用到了性质:若、为有理数,为无理数,.
1.3.16★★若为正整数,求证:
必为无理数.
解析 只需证为非完全平方数.而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可.
因为,
又因为,
所以.
而与是两个相邻的整数的完全平方数,它们之间一定没有完全平方数.因则对任意的正整数,数不可能是完全平方数,即必为无理数.
1.3.17★★★若、是正整数,、是实数,问是否存在三个不的素数、、,满足,,?
解析 假设存在三个不同的素数、、,满足,,.其中,、为实数,、是正整数.
消去、,得
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
,
即. ①
①式的两边立方,得
.②
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
将①式中的代入②式,得
.
但是是无理数,故上面等式有矛盾.因此,不存在在个不同的素数、、,满足,,.
1.3.18★★★★设是的个位数字,,2,3,…,求证:.是有理数.
解析 有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数.所以,要证是有理数,只要证它为循环小数.因此本题我们从寻找它的循环节入手.
计算的前若干个值,寻找规律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,….发 现:,,,,…,于是猜想:,若此式成立,说明是由20个数字组成循环节的循环小数,即
.
下面证明.
令,当是10的倍数时,表明与有相同的个位数,而
.
由前面计算的若干值可知:是10的倍数,故成立,所以是一个有理数.
1.3.19★★已知、、、均为有理数,如果它们中有三个数相等,求、的值.
解析 依题意,,否则无意义.
若,则,矛盾.
所以.
若,则由或都得到,矛盾.所以.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
因此,三个相等的代数式只能是:
(1)或(2).
由得.
当时,由(1)得,矛盾;由(2)得,矛盾.所以.
当时,由(1)得,,.
由(2)得,,.
所以,.
1.3.20★★★表示不超过实数的最大整数,令.
(1)找出一个实数满足;
(2)证明:满足上述等式的,都不是有理数.
解析 设,,,,则、是整数,,.由题设,所以,
,
.
令,则,再验证它满足
.
(1)取,则,于是,,所以
.
(2)设,,其中、是整数,,.则,.于是
,
.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
当时,,均不满足
.
当时,若
,
其中为正整数,则
.
由于,且与同奇偶,所以
或均不可能.故不是完全平方数,从而是无理数.
1.3.21★★★★设、是实数,对所有正整数,都是有理数,证明:是有理数.
解析 由题意,,,,…都是有理数.而有如下“递推关系”:
,
所以
,
,
从中解出即可.
设,,则有
,
,
消去,得
.
所以,当,即时,
是有理数.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
当时,若、全为0,则结论成立;若、中恰有一个为0,不妨设,则为有理数,从而为有理数;若,且、均不为0,则
是有理数.
从而命题得证.
评注 本题分析中给出的递推关系:非常重要.遇到涉及类型的问题时,利用这一递推关系,可以帮助我们解题.
1.3.22★★★★设是给定的正有理数.
(1)若是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明:一定存在3个正有理数、、,使得
;
(2)若存在3个正有理数、、,满足
.
证明:存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长,、、都是有理数,且,.
若,则,.这与、、都是有理数的假定矛盾,故.
不妨设,取,,,则、、都是正有理数,且
,
.
(2)设三个正有理数、、满足,则.取,,,则、、都是正有理数,且
,
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
,
即存在一个三边长、、都是正有理数的直角三角形,它的面积等于.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费