初中数学《第1章实数》竞赛专题复习(人教版附答案)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第一篇代数 第1章实数 ‎1.1实数的运算 ‎1.1.1★计算:‎ ‎.‎ 解析 将及分别分解为两数的积,得 ‎,‎ ‎,‎ 所以,原式.‎ 评注 一般地有 ‎;;;…‎ ‎1.1.2‎‎★计算:‎ ‎.‎ 解析 原式.‎ ‎1.1.3‎‎★计算:.‎ 解析原式.‎ 评注 在做分数加减法运算时,根据特点,将其中一些分数适当拆开,使得拆开后有一些分数可以相互抵消,达到简化运算的目的,这种方法叫拆项法.本例中,我们把拆成,即有 ‎.‎ 其他常用的拆项方法如:‎ ‎(1).它经常用于分母各因子成等差数列,且公差为的情形.‎ ‎(2).‎ ‎1.1.4‎‎★计算:.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析原式 ‎.‎ ‎1.1.5‎‎★★计算:‎ ‎.‎ 解析 因为,所以 原式 ‎.‎ ‎1.1.6‎‎★★计算:.‎ 解析 因为 ‎,‎ 所以 原式 ‎.‎ ‎1.1.7‎‎★★设,求与最接近的正整数.‎ 解析 对于正整数,有 ‎,‎ 所以 ‎.‎ 因为,所以,与最接近的正整数为25.‎ ‎1.1.8‎‎★★2008加上它的得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又得到一个数,…,依此类推,一直加到上一次得数的.最后得到数为 ‎.‎ ‎1.1.9‎‎★计算:‎ ‎.‎ 解析 因为 ‎,‎ 所以 ‎.‎ ‎1.1.10‎‎★计算:‎ ‎.‎ 解析 ‎ ‎1.1.11‎‎★★计算:‎ ‎.‎ 解析 因为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎1.1.12‎‎★★计算:.‎ 解析 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ ‎1.1.13‎‎★★计算:.‎ 解析 设,则 ‎,‎ 所以,‎ 故.‎ 评注 一般地,对于求和:,我们常常采用如下方法,令 ‎,‎ 则,‎ 于是,‎ ‎.‎ ‎1.1.14‎‎★★计算:.‎ 解析 设,则,所以 ‎,.‎ ‎1.1.15‎‎★计算:‎ ‎.‎ 解析 设,‎ ‎,‎ 则原式.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.1.16‎‎★★计算下列繁分数:‎ ‎(2008个减号).‎ 解析 先耐心地算几步,从中发现规律.可将用字母代替(这样可以得到更一般的结论).自下而上逐步算出 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 由此可见,每计算3步,又重新出现,即3是一个周期.而,所以,原式.特别地,在时,得出本题的答案是.‎ ‎1.1.17‎‎★★比较与2的大小.‎ 解析先将中的每一个数拆成两数的差:‎ ‎,,,‎ ‎,,.‎ 所以,‎ ‎=,‎ 好 ‎1.1.18‎‎★★★已知 ‎,问:的整数部分是多少?‎ 解析 我们只要估算出在哪两个相邻整数之间即可.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 这里,‎ 下面进一步估计介于哪两个相邻整数之间.‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以,,.‎ 即的整数部分是101.‎ ‎1.1.19‎‎★★在数,,,,,,,的前面分别添加“”或“”,使它们的和为1,你能想出多少种方法?‎ 解析 这8个有理数的分母都是10,只要2,3,4,5,6,7,8,9这8个整数的代数和为10即可,而,所以添加“”或“”后,正数的和应为.‎ 方法很多.如 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 等.‎ ‎1.1.20‎‎★★计算 ‎.‎ 解析 因为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ 所以,原式等于 ‎.‎ ‎1.1.21‎‎★★★求和:.‎ 解析因为,所以 ‎,‎ 原原式 ‎.‎ ‎1.1.22‎‎★★已知,其中为正整数,证明:‎ ‎.‎ 解析 注意到 ‎,‎ 所以 ‎.‎ ‎1.1.23‎‎★★★求下列分式的值:.‎ 解析 由于 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由此,‎ 原式 ‎.‎ 评注 对通项的分子分母同乘2,发现可以首尾配对是本题的关键.‎ ‎1.1.24‎‎★★设,求的整数部分.‎ 解析 对于,,,,因为 ‎,‎ 所以 ‎,‎ 于是有,故的整数部分等于4.‎ ‎1.2实数与数轴 ‎1.2.1‎‎★数、在数轴上对应的点如图所示,试化简.‎ 解析 由图可知,,而且由于点离原点的距离比点离原点的距离大,因此.我们有 ‎.‎ 评注本题由图,即数轴上、两点的位置,“读”得,,等条件,从而去掉绝对值符号,解决问题.‎ ‎1.2.2‎‎★已知,化简:.‎ 解析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.‎ 原式(因为)‎ ‎(因为)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ ‎1.2.3‎‎★若,化简.‎ 解析因为,所以,从而 ‎,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 因此,原式.‎ 评注 根据所给的条件,先确定绝对值符号内的代数式的正负,然后化去绝对值符号.若有多层绝对值符号,即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号(如本题中的分子),通常从最内层开始,逐层向外化去绝对值符号.‎ ‎1.2.4‎‎★化简:.‎ 解析 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简,只要考虑的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们是分是一个分界点.类似地,对于而言,是一个分界点.为同时去掉两个绝对值符号,我们把两个分界点和标在数轴上,把数轴分为三个部分(如图所示),即 ‎,,.‎ 这样我们就可以分类讨论化简了.‎ ‎(1)当时,‎ 原式;‎ ‎(2)当时,‎ 原式;‎ ‎(3)当时,‎ 原式.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即 评注 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数成分几个部分,根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.‎ ‎1.2.5‎‎★设,且,试化简 ‎.‎ 解析 因为,,所以.,即,所以 ‎,,‎ 因此 ‎.‎ ‎1.2.6‎‎★★化简.‎ 解析 先找零点.‎ 由得.由即,得,‎ 从而或.由得.‎ 所以零点共有,,三个.因此,我们应将数轴分成4个部分,即 ‎,,,.‎ 当时,‎ 原式 ‎.‎ 当时,‎ 原式 ‎.‎ 当,‎ 原式 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时,‎ 原式 ‎.‎ 即 原式 评注 由于本例中含又重绝对值,采用零点分段法时,不要忘了考虑的零点.‎ ‎1.2.7‎‎★★若的值恒为常数,求满足的条件及此常数的值.‎ 解析 要使原式对任何数恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含的项相加为零,即的系数之和为零,故本题只有一种情况.因此必须有且.故应满足的条件是 解得.‎ 此时,原式.‎ ‎1.2.8‎‎★★如果,且,求的最大和最小值.‎ 解析(1)当时,有 ‎,‎ 所以.‎ ‎(2)当时,有 ‎,‎ 所以.‎ 综上所述,的最值是3,最小值是.‎ ‎1.2.9‎‎★★求代数式的最小值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设,根据绝对值的几何意义,我们知道表示数轴上对应的点到对应、、的点的距离之和,下面分类讨论:‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 因此,当时,取最小值25.‎ ‎1.2.10‎‎★★如果为有理数,求代数式的最小值.‎ 解析 分,,,,五个部分进行讨论.去掉绝对值符号,经过化简得到:‎ 当时,原式,最小值为17;‎ 当时,原式,最小值为15;‎ 当时,原式,是一固定值;‎ 当时,原式,最小值大于15;‎ 当时,原式,最小值大于15.‎ 综上所述,原代数式的最小值为15.‎ 评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解.本题就是要在数轴上找一点,使它到、、1、3的距离之和最小.这一点显然应在与之间(包括这两点)的任意一点,它到、、、的距离之和为15,就是要求的最小值.‎ ‎1.2.11‎‎★★已知,,且 ‎,‎ 求的最大值和最小值.‎ 解析由题设条件知:,.‎ 于是,.所以 ‎(1)当时,有 ‎,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 .‎ ‎(2)当时,有 ‎,‎ 所以 .‎ 因此,的最大值是为7,最小值为3.‎ ‎1.2.12‎‎★★已知 ‎,求的最大值.‎ 解析 首先使用“零点分段法”将化简,然后在各个取值范围内求出的最大值,再加以比较,从中选出最大者.‎ 有三个分界点:,,.‎ ‎(1)当时,,由于,所以,的最大值是.‎ ‎(2)当时,,由于,所以,的最大值是6.‎ ‎(3)当时,,由于,所以,的最大值是6.‎ ‎(4)当时,,由于,所以,的最大值是0.‎ 综上可知,当时,取得最大值为6.‎ ‎1.2.13‎‎★★★设,求 的最小值.‎ 解析 设、、、、在数轴上的对应点分别为、、、、,则表示线段之长,同理,,,分别表示线段,,之长,现要求,,,这和的值最小,就是要在数轴上找一点,使该点到、、、四点距离之和最小.‎ 因为,所以、、、的排列应如图所示:‎ 所以当在、之间时,距离和最小,这个最小值为,即.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.2.14‎‎★★、为有理数,且,试求的值.‎ 解析 当时,由得,故此时.‎ 当时,由,得,故此时.‎ 所以,不管是还是,、中至少有一个为0,因此,.‎ ‎1.2.15‎‎★★若、、为整数,且,试计算的值.‎ 解析 因为、、均为整数,则,也应为整数,且,为两个非负整数,和为1,所以只能是 且, ①‎ 或者且. ②‎ 由①有且,于是;由②有且,于是.无论①或②都有 且,‎ 所以 .‎ ‎1.2.16‎‎★★★将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为,另一个数记为,代入代数式中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得个值,求这50个值的和的最大值.‎ 解析 代数式的值就是、中的较大数,为保证所计算出的50个值之和最大,分组时不要把51,52,…,100这50个数中任两个分成一组即可.‎ 对于任意一组中的两个数、,不妨设,则代数式 ‎.‎ 于是这50个值之和与大数有关,所以,这50个值的和的最大值为 ‎.‎ ‎1.2.17‎‎★★★设个有理数,,…,满足 ‎,且 ‎,‎ 求的最小值.‎ 解析 先估计的下界,由,及,知 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ 所以,.‎ 又当时,取 满足已知条件,所以,正整数的最小值为20.‎ ‎1.3实数的判定 ‎1.3.1‎‎★★证明循环小数是有理数.‎ 解析 要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式.设 ‎, ①‎ 两边同乘以100得 ‎. ②‎ ‎②①得 ‎,‎ 所以 .‎ 既然能写成两个整数比的形式,从而也就证明了是有理数.‎ ‎1.3.2‎‎★★已知是无理数,且是有理数,在上述假定下,分析下面四个结论是:‎ ‎(1)是有理数;‎ ‎(2)是无理数;‎ ‎(3)是有理数;‎ ‎(4)是无理数.‎ 哪些是正确的?哪些是错误的?‎ 解析 取无理数,这时 是有理数,而是无理数,故结论(1)不正确.仍取,仿上可知结论(3)不正确.由于 ‎,‎ 且是有理数,是无理数,故是无理数,即结论(2)正确.同样,由 ‎,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 知结论(4)正确.‎ ‎1.3.3‎‎★★求证:是有理数.‎ 解析 要证明所给的数能表示成(,为整数,)的形式,关键是要证明是完全平方数.‎ ‎,‎ 所以 ‎.‎ 因为与3均为整数,所以是有理数.‎ ‎1.3.4‎‎★★证明是无理数.‎ 解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事.由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法.‎ 假设不是无理数,则必为有理数.设(、是互质的正整数),两边平方有 ‎,①‎ 所以一定是偶数.设(是正整数),代入①得 ‎,,‎ 所以也是偶数.、均为偶数和与互质矛盾,所以不是有理数,于是是无理数.‎ 评注只要是质数,就一定是无理数,这个结论的证明并不困难,请自行完成.‎ ‎1.3.5‎‎★★设是正整数,是有理数,则必是完全平方数;反过来,如果是完全平方数,则是有理数(而且是正整数).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析第二个结论显然成立,下面证明第一个结论.因是有理数,故可设(、为互质的正整数),从而 ‎. ①‎ 我们知道,任何一个平方数的质因数分解式中,每一个质因数的指数都是正偶数(反过来也成立);而非平方(自然)数的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数.由此可见,如果不是完全平方数,那么无论与有无相同的质因数,在的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数,即不是平方数.‎ 这样①式不可能成立.所以,是完全平方数.‎ 评注 本题是一个重要的结论,它可作为定理使用,读者应熟悉它.有了这个结论,可以立即断定、、等都是无理数.‎ ‎1.3.6‎‎★★设、及都是整数,证明:及都是整数.‎ 解析 由于负数不能开平方,故由题设知、都是非负整数.若或,易知结论成立.若、都是正整数,由,两边平方得 ‎,‎ 所以.‎ 由所设、及都整数,故是有理数,从而是平方数,故是整数,从而是整数.‎ ‎1.3.7‎‎★★求满足等式 的有理数、.‎ 解析 把原式两边立方,得 ‎.‎ 因、是有理数,故 解得,或,,易检验它们都满足原式.‎ ‎1.3.8‎‎★★求满足条件 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的正整数、、.‎ 解析将原式两边平方得 ‎.①‎ 显然,是无理数,假设是有理数,则是有理数,这与①式矛盾,所以必为无理数.‎ 由①式变形为 ‎.‎ 假设,则必为非零有理数,设为,即,所以有 ‎,‎ 两边平方得 ‎,‎ 所以.‎ 因为,所以是无理数,而是有理数,矛盾.所以 且.‎ 所以 又因为,所以,所以满足条件的正整数为:,,或,,.‎ ‎1.3.9‎‎★★若(其中、、、为有理数,为无理数),则,,反之,亦成立.‎ 解析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明.‎ 将原式变形为.若,则.‎ 因为是无理数,而是有理数,矛盾.所以必有,进而有.‎ 反之,显然成立.‎ 评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质.‎ ‎1.3.10‎‎★★设与是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 假设是有理数,设其为,即 ‎.‎ 整理得 .‎ 由‎1.3.9‎题知 ‎,,‎ 即,这与已知矛盾.所以原假设是有理数错误,故是无理数.‎ 评注 本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结论.解这样的问题时,可以先找到一个立足点,如本例以为有理数作为立足点,以其作为推理的基础.‎ ‎1.3.11‎‎★★★已知、是两个任意有理数,且,求证:与之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).‎ 解析 只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明.‎ 因为,所以,所以 ‎.‎ 设,显然是有理数(因为、为有理数).因为,所以,同理可证.设,显然也是有理数,依此类推,设, 为任意正整数,则有,且为理数,所以在和 之间存在无穷多个有理数.‎ ‎1.3.12‎‎★★★已知在等式中,、、、都是有理数,是无理数,问:‎ ‎(1)当、、、满足什么条件时,是有理数;‎ ‎(2)当、、、满足什么条件时,是无理数.‎ 解析 (1)当,时,为有理数.‎ 当时,有 ‎,‎ 所以,只有当,即时,为有理数.‎ 故当,且;或,且时,为有理数.‎ ‎(2)当,,时,为无理数.‎ 当时,有 ‎,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故只有当,即时,为无理数.‎ 所以,当,,;或,,为无理数.‎ ‎1.3.13‎‎★★已知、是两个任意有理数,且,问是否存在无理数,使得成立?‎ 解析 因为,,所以 ‎,‎ 即. ①‎ 又因为,所以 ‎,‎ 即. ②‎ 由①,②有 ‎,‎ 所以.‎ 取 ‎.‎ 因为、是有理数,且,所以是无理数,即存在无理数,使得成立.‎ ‎1.3.14‎‎★★已知数的小数部分是,求 的值.‎ 解析 因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这类涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的),然后再寻求其小数部分的表示方法.‎ 因为,即,所以的整数部分为3.设,两边平方得 ‎,‎ 所以.‎ ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.3.15‎‎★★已知:、是有理数,,且满足,试求的值.‎ 解析 将代入方程,得 ‎,‎ 化简,得.‎ 因为、都是有理数,则 解方程组,得所以.‎ 评注 本题应用到了性质:若、为有理数,为无理数,.‎ ‎1.3.16‎‎★★若为正整数,求证:‎ 必为无理数.‎ 解析 只需证为非完全平方数.而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可.‎ 因为,‎ 又因为,‎ 所以.‎ 而与是两个相邻的整数的完全平方数,它们之间一定没有完全平方数.因则对任意的正整数,数不可能是完全平方数,即必为无理数.‎ ‎1.3.17‎‎★★★若、是正整数,、是实数,问是否存在三个不的素数、、,满足,,?‎ 解析 假设存在三个不同的素数、、,满足,,.其中,、为实数,、是正整数.‎ 消去、,得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ 即. ①‎ ‎①式的两边立方,得 ‎.②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将①式中的代入②式,得 ‎.‎ 但是是无理数,故上面等式有矛盾.因此,不存在在个不同的素数、、,满足,,.‎ ‎1.3.18‎‎★★★★设是的个位数字,,2,3,…,求证:.是有理数.‎ 解析 有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数.所以,要证是有理数,只要证它为循环小数.因此本题我们从寻找它的循环节入手.‎ 计算的前若干个值,寻找规律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,….发 现:,,,,…,于是猜想:,若此式成立,说明是由20个数字组成循环节的循环小数,即 ‎.‎ 下面证明.‎ 令,当是10的倍数时,表明与有相同的个位数,而 ‎.‎ 由前面计算的若干值可知:是10的倍数,故成立,所以是一个有理数.‎ ‎1.3.19‎‎★★已知、、、均为有理数,如果它们中有三个数相等,求、的值.‎ 解析 依题意,,否则无意义.‎ 若,则,矛盾.‎ 所以.‎ 若,则由或都得到,矛盾.所以.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此,三个相等的代数式只能是:‎ ‎(1)或(2).‎ 由得.‎ 当时,由(1)得,矛盾;由(2)得,矛盾.所以.‎ 当时,由(1)得,,.‎ 由(2)得,,.‎ 所以,.‎ ‎1.3.20‎‎★★★表示不超过实数的最大整数,令.‎ ‎(1)找出一个实数满足;‎ ‎(2)证明:满足上述等式的,都不是有理数.‎ 解析 设,,,,则、是整数,,.由题设,所以,‎ ‎,‎ ‎.‎ 令,则,再验证它满足 ‎.‎ ‎(1)取,则,于是,,所以 ‎.‎ ‎(2)设,,其中、是整数,,.则,.于是 ‎,‎ ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时,,均不满足 ‎.‎ 当时,若 ‎,‎ 其中为正整数,则 ‎.‎ 由于,且与同奇偶,所以 或均不可能.故不是完全平方数,从而是无理数.‎ ‎1.3.21‎‎★★★★设、是实数,对所有正整数,都是有理数,证明:是有理数.‎ 解析 由题意,,,,…都是有理数.而有如下“递推关系”:‎ ‎,‎ 所以 ‎,‎ ‎,‎ 从中解出即可.‎ 设,,则有 ‎,‎ ‎,‎ 消去,得 ‎.‎ 所以,当,即时,‎ 是有理数.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时,若、全为0,则结论成立;若、中恰有一个为0,不妨设,则为有理数,从而为有理数;若,且、均不为0,则 是有理数.‎ 从而命题得证.‎ 评注 本题分析中给出的递推关系:非常重要.遇到涉及类型的问题时,利用这一递推关系,可以帮助我们解题.‎ ‎1.3.22‎‎★★★★设是给定的正有理数.‎ ‎(1)若是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明:一定存在3个正有理数、、,使得 ‎;‎ ‎(2)若存在3个正有理数、、,满足 ‎.‎ 证明:存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长,、、都是有理数,且,.‎ 若,则,.这与、、都是有理数的假定矛盾,故.‎ 不妨设,取,,,则、、都是正有理数,且 ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)设三个正有理数、、满足,则.取,,,则、、都是正有理数,且 ‎,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ 即存在一个三边长、、都是正有理数的直角三角形,它的面积等于. ‎ 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