第3章一元方程-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎⑵求的最在大值．‎ 解析 因为方程有两个不相等的实数根，所以 ‎，‎ 即．‎ 结合题设知．‎ ‎⑴因为 所以，‎ 即，‎ 解得．‎ 由于，故．‎ ‎⑵‎ ‎．‎ 设，．因为在上是递减的，所以当时，的最大值为10．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故的最大值为10．‎ ‎3.3.13‎‎★★★设、、为互不相等的实数，且满足关系式 ‎， ①‎ 及， ②‎ 求的取值范围．‎ 解析1 由①②得 ‎，‎ 所以．‎ 当时，‎ ‎．‎ 又当时，由①、②得 ‎， ③‎ ‎， ④‎ 将④两边平方，结合③得 ‎，化简得 ‎，‎ 故，‎ 解得，或．‎ 所以，的取值范围为且，．‎ 解析2 因为，，所以 ‎，‎ 所以 ．‎ 又，所以、为关于的一元二次方程 ‎ ⑤的两个不相等实数根，故 ‎，所以．‎ 当时，‎ ‎．‎ 另外，当是时，由⑤式有 ‎，即，或，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得，或．‎ 所以，的取值范围为且，．‎ ‎3.3.14‎‎★★求使得关于的方程恰有一个实数根的所有实数．‎ 解析 原方程写成关于的一元二次方程，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以无实数解，由判别式知．‎ ‎3.3.15‎‎★★★已知实数、、满足，及，求的最小值．‎ 解析 已知，由题设知，且，所以、是如下关于的一元二次方程的两个根：‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ 即，所以．‎ 于是，，从而，故 ‎，‎ 当，，时等号成立．‎ 所以，的最小值为30．‎ ‎3.3.16‎‎★★已知实数、、满足：‎ 求证：．‎ 解析 构造以、为两实根的一元二次方程，含在这个方程的系数里，利用可证得．‎ 由题设条件知 ‎，‎ ‎，‎ 于是，、是关于的一元二次方程的两个实根，所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 得 ．‎ ‎3.3.17‎‎★★★设实数、、满足 ‎，．‎ 求证：、、中必有一个大于．‎ 解析 由及知，、、三个数中，一定是一正二负．不妨设，，．‎ 由题设得 ‎，，‎ 于是、是关于的一元二次方程的两个实根，‎ ‎，‎ 因为，所以，故 ‎．‎ 评注 利用韦达定理，结合判别式是初中阶段处理不等式问题的常用技巧．请大家熟练掌握．‎ ‎3.3.18‎‎★★满足的所有实数对中，的最大值是多少？‎ 解析 设，则，代入已知等式得 ‎，‎ 即，‎ 将它看成关于的一元二次方程．因是实数，所以 ‎，‎ 即． ①‎ 令，得，所以①的解为 ‎，‎ 即的最大值是，这时 ‎，．‎ ‎3.3.19‎‎★★、为实数，且满足，求的最大值和最小值．‎ 解析 由于，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，‎ 上式可以看成关于的一元二次方程．因为实数，所以 ‎，‎ 即，‎ ‎．‎ 解得 ．‎ 当时，代入中，得 ‎，即时，有最小值．‎ 当时，代入，得，即时，有最大值．‎ ‎3.3.20‎‎★★实数、、满足，且对任何实数，都有不等式 ‎，‎ 求证：，，．‎ 解析 因为对任何实数，有 ‎，‎ ‎，‎ 当时，便有 ‎，‎ 所以．‎ 由于，于是 ‎，于是、是一元二次方程 所两个实数根，所以 ‎，‎ 即，‎ 所以．‎ 同理可证，，．‎ ‎3.3.21‎‎★★实数、、满足，，求的最大值．‎ 解析 因为，，所以、是关于 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的一元二次方程 的两实根．‎ 故，即 ‎，．‎ 所以，当时，．故的最大值为．‎ ‎3.4一元二次方程根的分布 ‎3.4.1‎‎★若二次方程的两个根都大于2，求实数的取值范围．‎ 解析1 作代换，则可把已知方程化成关于的二次方程，既然已知方程的两个根都大于2，那么关于的方程都是正根．‎ 令，则．代入已知方程，得 ‎，‎ 即．‎ 因为已知方程的两个根都大于2，所以上面关于的二次方程的两根都是正数，故 解方程组，得．这就是所求的的取值范围．‎ 解析2 考察的图象（如图），因的两根、都大于2，故它的对称轴在直线的右侧，顶点不在轴的上方，且当时，，即 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 反过来，上面三个条件满足后，的两根必都大于2．解上述不等式组，得的取值范围为．‎ ‎3.4.2‎‎★设关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围．‎ 解析 由于方程有两个不相等的实根，故，原方程可变形为 ‎．‎ 记，则这个抛物线开口向上，因，故当时，，即．解得．‎ ‎3.4.3‎‎★★已知关于的实系数二次方程有两个实数根、．证明：如果，，那么且．‎ 解析 由韦达定理（根与系数的关系），有．‎ 另一方面，由函数的图象（如图）易知函数在时均为正值，即 ‎，‎ 从而 ‎．‎ ‎3.4.4‎‎★★已知、、、是实数，为了使二次方程 与 都有实根，并且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开业，系数、、、应满足什么条件？‎ 解析 ，的图象都是开口向上，且形状大小相同的抛物线（如图）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为的两根被的两根分隔开来，所以，两条抛物线在轴下方有一个公共点．反过来，两条抛物线在轴下方有一个公共点也能推知与都有实根，且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开来．‎ 由得．在的条件下，．这就是两条抛物线公共点的横坐标．故 ‎，‎ 即．‎ 反之，当上面不等式成立时，必有．故上面的不等式即是所求的条件．‎ ‎3.4.5‎‎★★方程（是常数）有两实根、，且，，那么的取值范围是（ ）．‎ A．‎ B．‎ C．或 D．无解 解析 用根与系数关系．‎ 设，则原方程变为 ‎，整理，得 ‎．‎ 原方程两根为、，所以上述方程的两根为 ‎，，‎ 又因为，，所以 ‎，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，， ①‎ 所以， ②‎ 解得． ③‎ 又 ‎， ④‎ 即，‎ 亦即，‎ 解得 或． ⑤‎ 又由 ⑥‎ 得，‎ 即，‎ 解得或． ⑦‎ 可证明，满足②、④、⑥的、必满足①，所以的范围是③、⑤、⑦的公共部分，即 或．‎ 故应选．‎ ‎3.4.6‎‎★★已知方程有一个根小于，另一个根大于0，求的取值范围．‎ 解析 设，则的图象为开口向上的抛物线，该抛物线与轴的一个交点在左侧，另一个交点在0右侧的位置，如图所示．‎ 因此，一个根小于，另一个根大于0的等价条件是 ‎．故的取值范围为．‎ ‎3.4.7‎‎★设二次方程的系数、、都是奇数．它的两个实根、满足，．若，求、．‎ 解析 设，，则有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从而 因为，，，，那么，．‎ 因为是奇数，得，从而．又因为，且是奇数，则，．因此．方程的根 ‎，满足要求．‎ 当时，二次方程的系数仍是奇数，判别式，且两个实根与的相同．因为它的二次项系数，故应用上一段的结果，的两个实根是，．这也就是所求的的根．‎ ‎3.4.8‎‎★★★设二次函数，方程的根为、，且，当时，试比较与的大小关系．‎ 解析1 已知方程，整理为 ‎．‎ 由韦达定理得 根据题意，则 ‎，‎ 所以，‎ 得到． ①‎ 又是方程的根，则 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由①可知．‎ 又因为开口向上，在时是单调递减的，且由题意 ‎，‎ 因此．‎ 解析2 由已知方程的两根为、，则有 ‎，‎ 即．‎ 因为 ‎，‎ 由题意，‎ 得． ②‎ 又由 ，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ③‎ 综合②、③，有，所以．‎ 评注 题目要求比较与的大小，解析1是去比较与的大小关系，利用不等式得到，从而解决此题．而解析是利用已知二次方程的两根，把函数写成的形式，通过作差比较来解决此题的．‎ ‎3.4.9‎‎★★若关于的方程至少有一个实根大于0且小于1，求实数的取值范围．‎ 解析 设方程的两根为、且，那么由根与系数的关系得，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 由此可知，或，，或，．‎ 记，则的图象如图1或图2所示．故方程至少有一个实根大于0且小于1等价于（注意：在第二种情况中由可推出）：‎ 或或或，．‎ 故的取值范围为．‎ 评注 ⑴不等式组中，表示抛物线的顶点在轴下方或在轴上，这个不等式也可用代替；‎ ‎⑵分类讨论是数学解题的一种重要方法，我们要留意这方面的培养和训练；‎ ‎⑶本题也可不求另一根的取值范围，直接对抛物线的对称轴的位置进行分类讨论．即分，，，四种情况分别求出方程至少有一个实根大于0且小于1的的取值范围，然后合并得解．‎ ‎3.4.10‎‎★★★若关于的方程的所有根都是比1小的正实数根，求实数的取值范围．‎ 解析 首先，题目没有指明已知方程为二次方程，因此对二次项系数应分等于零不等于零两种情况讨论．对的情况，再借助于二次函数的图象及不等式求出的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 当时，原方程为，，满足条件．‎ 当时，原方程为，，不满足条件．‎ 当时，已知方程为二次方程，且可化成 ‎．‎ 设，则二次方程的两实根都是比1小的正数，等价于该抛物线与轴的两个公共点（包括两个公共点重合）都在大于0且小于1的范围内（如图），由此得 ‎．‎ 综上所述，所求的的取值范围为或．‎ ‎3.4.11‎‎★★★使关于的不等式 成立的的最小值为，试求的值．‎ 解析 已知不等式即．按题设是它最小的解，因而该不等式的解必成的形状，其中和都不等式相应的二次方程的实根（这里能允许，即二次方程有两个相等实根，由已知不等式得）‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 是这个不等式的最小解，故上列不等式的解是，这里、都是二次方程的根．于是有 ‎，‎ 即．‎ 解之，得或．‎ 当时，已知不等式即，它的解为，满足题意．‎ 当时，已知不等式即，它的解为，满足题意．‎ 综上所述，的值为或．‎ 评注 解得或后，检验6或是否满足题意是必须的．这是因为当时仅知当或时，方程有一个根为，而不知道另一实根是否不小于．‎ ‎3.4.12‎‎★★设、是整数，且方程 的两个不同的正数根都小于1，求的最小值．‎ 解析 已知方程有两个不同正数根，又，已知方程可化成 ‎．‎ 记，则的两个不同正数根都小于1等价于 为整数，，故为正整数，，于是 ‎．‎ 于是 当时，，不存在；当时，，整数不存在；当时，，整数可取．换句话说，方程符合题目要求，故的最小值为3．‎ ‎3.4.13‎‎★★★★设实数、、、满足条件 ‎，‎ 且，，求证：方程有一根，满足．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 当时，若，方程的根为，又，则，即；若，则，那么任何实数都是原方程的根，因此必有一根使得．‎ 当时，令，则有．若，则，所以必有一根满足；若，则，所以必有一根满足．‎ ‎3.4.14‎‎★★★已知、、为实数，，并且．证明：一元二次方程有一个介于与1之间．‎ 解析 由题意，可以不妨设（否则多项式乘以，并用、、代替、、即可），则由得．‎ 考虑运用二次函数图象特点转化问题为证明函数有，．‎ 由 可得，‎ 即有，‎ ‎．‎ 又由 可得，‎ 即有．‎ 因此，函数的图象与轴必有一个交点，它的横坐标在与1之间，即方程必有一根介于与1之间．‎ ‎3.5一元二次方程的整数根 ‎3.5.1‎‎★★设、为质数，且方程 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 有整数解，求、的值．‎ 解析 设是方程的整数解，是方程的另一个解．则 由为整数及①知，也是整数，且，，故、都是负整数．‎ 利用②及为质数，可知，和及对称的情形，于是，或．由①及为质数，可知只能是．如果为奇数，则为偶数，结合为质数知，导致，矛盾．所以为偶数，故，．‎ ‎3.5.2‎‎★★已知是质数，使得关于的二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值．‎ 解析 因为这是一个系数一元二次方程，它有整数根，所以 为完全平方数，从而为完全平方数．‎ 令，由于，所以．‎ ‎，‎ 因为为质数，且，故只可能 或 解得或 当时，原方程为，，；‎ 当时，原方程为，，．‎ 故和都满足条件．于是所有可能的值为或．‎ 评注 利用是完全平方数，进而解一个不定方程是求解一元二次方程整数根的常用方法．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.5.3‎‎★★已知、、都是整数，且对一切实数，都成立，求所有这样的有序数组．‎ 解析 恒成立，即恒成立，这说明有两个整数根、．所以 是一个完全平方数，令其为，是正整数，则 ‎．‎ 由于与同奇偶，且均大于0，所以 或 解得或 当时，方程的两根为，，；当时，，．‎ 所以，满足条件的有序组共有如下组：，，，．‎ ‎3.5.4‎‎★★★求所有的有理数，使得关于的方程 的所有根是整数．‎ 解析 首先对和进行讨论．当时，是关于的一次方程；当时，是关于的二次方程，由于是有理数，用直接求根的方法或用判别式来解，都有些困难，故可考虑用韦达定理，先把消去．‎ 当时，原方程为，所以．‎ 当时，原方程是关于的一元二次方程，设它的两个整数根为、，且，则 消去，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎，‎ 所以或 解得或 所以，或1．‎ 综上所述，当，，时，方程的所有根都是整数．‎ ‎3.5.5‎‎★★已知是正整数，且使得关于的一元二次方程 至少有一个整数根，求的值．‎ 解析 将原方程变形为 ‎，‎ 显然，于是．‎ 由于是正整数，所以，即 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 当，，，0，1，2时，得的值为1、6、10、3、、1．‎ 所以，的值为1、3、6、10．‎ 评注 从解题过程中知，当时，有两个整数根、；当，，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．本题利用判别式也是可以求解的．‎ 是完全平方数，故是平方数，且为奇数的平方，‎ 令，是正整数，则．‎ 原方程可化为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 所以，或，故，，或，．‎ ‎，，或，．‎ 所以，的值为、、、．‎ ‎3.5.6‎‎★★★关于的二次方程 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费