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1 理科数学 BBDAB CCACB CA 13. 3 14. 4 15. 5115 2 16. 25 5 17.（1）由正弦定理得 2sin 3sinAB ……1 分 2sin 2 3sinBB ， 4sin cos 3sinB B B ……2 分 sin 0B Q ， 3cos 4B ……3 分 2cos cos2 2cos 1A B B    ……4 分 2312 ( ) 148    ……5 分 （2） 2 37sin 1 cos 8AA   ，……6 分 2 7sin 1 cos 4BB   ……7 分 sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B     ……8 分 3 7 3 1 7 5 78 4 8 4 16     ……9 分 1 sin 15 72ABCS ab C   ……10 分 得到 96ab  ……11 分 又 23ab ，可得 12, 8ab. ……12 分 18. （1）依题意，(0.008 0.0025 0.0035 0.008 0.002) 100 1a       ，……1 分 得 0.0022a  ……2 分 从该企业的员工中随机抽取 3 人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量不超过 900M 的概率为1 (0.008 0.002) 100 0.9    ，……3 分 至多 1 人可分为恰有一人和没有人超过 900M， 设事件 A 为“3 人中至多有 1 人手机月流量不超过 900M” ，……4 分 则 1 23 3( ) 0.9 0.1 0.1 0.028PA C     ……5 分 （2）若该企业选择 A 套餐，设一个员工的所需费用为 X ，则 可能为 20,30,40 ……6 分 的分布列为 X 20 30 40 P 0.3 0.6 0.1 2 ……7 分 20 0.3 30 0.6 40 0.1 28EX        ……8 分 若该企业选择 B 套餐，设一个员工的所需费用为Y ，则Y 可能为30,40 ……9 分 Y 的分布列为 Y 30 40 P 0.98 0.02 ……10 分 30 0.98 40 0.02 30.2EY      ……11 分 30.2 28Q 订购 A 套餐更经济. ……12 分 19. （1）Q 四边形 11BB C C 是菱形 11B C BC……1 分 1B C ABQ ，且 1BC AB BI 1BC平面 1ABC ……2 分 1B C AO……3 分 1AB ACQ ， O 是 1BC 的中点， 1AO BC ……4 分 又 11BC B C OI ， AO平面 11BB C C ……5 分 （2）（法一） 11//AB A BQ 直线 11AB 与平面 11BB C C 的所成角等于直线 AB 与平面 的所成角 AO Q 平面 直线 与平面 的所成角为 ABO ，……6 分即 45ABOo 不妨设菱形 的边长为 2，则在等边三角形 1BB C 中， 13, 1BO CO B O   在直角三角形 ABO 中， 3AO BO……7 分 以O 为原点建立空间直角坐标系，则 11(0,1,0), (0, 1,0), ( 3,1, 3)B C A ……8 分 1 1 1( 3,0, 3), (0, 2,0),A B B C    uuuur uuur 设平面 11A B C 的一个法向量为 1 ( , , ),n x y z ur 第 19 题图 x z y 3 则 1 1 1 11 3 3 0 20 n A B x z n B C y        ur uuuur g ur uuur g 得 1 (1,0,1)n  ur ……9 分 而平面 1AB C 的一个法向量为 2 (1,0,0),n  uur ……10 分 12 12 12 12cos , 2| || | 2 nnnn nn     ur uurur uur ur uur ……11 分 二面角 11A B C A的大小为 45o . ……12 分 （法二） 不妨设菱形 11BB C C 的边长为 2，则在等边三角形 1BB C 中， 13, 1BO CO B O   设 AO a 以O 为原点建立空间直角坐标系，则 11(0,1,0), (0, 1,0), ( 3,1, )B C A a……6 分 11 ( 3,0, ),A B a uuuur 平面 的法向量为 (0,0,1),n  r 依题意有， 11 11 2 11 || 2| cos , | sin 45 2| || | 3 A B n aA B n A B n a        o uuuuur ruuuur r uuuur r ，……7 分 得到 3a  ……8 分 因此， 1 1 1( 3,0, 3), (0, 2,0),A B B C    uuuur uuur 设平面 11A B C 的一个法向量为 1 ( , , ),n x y z ur 则 得 ……9 分 而平面 的一个法向量为 ……10 分 ……11 分 二面角 的大小为 . ……12 分 20. （1）依题意有 2 2 2 2 2 2 2 2 ce a b a b c        ，……1 分 解得 2 2 2 a b c      ……2 分 椭圆C 的方程为 22 142 xy，……3 分 ( 2,0), (2,0)AB ，设 00( , )M x y 4 则 2 0 0 0 2 0 0 02 2 4MA MB y y ykk x x x      ……4 分 2 0 2 0 12 12 42 x x     ……5 分 （2）（法一） 2NB MAkkQ ， 1NB MBkk  g ，……6 分即 NB MB 设 MN 的方程为 x mx t， 11( , )M x y ， 22( , )N x y 22 142 x mx t xy   2 2 2( 2) 2 4 0m y mty t      ……7 分 则 12 2 2 2 mtyy m    ， 2 12 2 4 2 tyy m   ……8 分 1 2 1 2( 2)( 2) 0BN BM x x y y     uuur uuuur g ……9 分 得 22 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) ( 2) 0m y y m t y y t       2 22 22 42( 1) ( 2) ( ) ( 2) 022 t mtm m t tmm       g ……10 分 化简得 23 8 4 0tt   ， 2 3t  或 2t  ……11 分 即 的方程为 2 3x my或 2x my， 因为 2x mx经过右顶点，舍去；所以直线 MN 经过定点 2( ,0)3 ……12 分 （法二） ， ，……6 分即 当 MN x 轴时，直线 MN 方程为 2 3x  ……7 分 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y kx m， 11( , )A x y ， 22( , )B x y 22 142 y kx m xy   2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x kmx m      ，……8 分 则 12 2 4 12 kmxx k    ， 2 12 2 24 12 mxx k   ……9 分 5 得 2 2 2 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) 4 0k x x k x x m       ……10 分 2 2 2 2 22 2 4 4( 1) ( 2)( ) 4 01 2 1 2 m kmk k mkk        化简得 224 8 3 0k km m   , 2 3mk 或 2mk ……11 分 即 MN 的方程为 2 3y kx k 或 2y kx k， 因为 经过右顶点，舍去；所以直线 MN 经过定点 2( ,0)3 ……12 分 （法三）设 MA 的方程为 1( 2)y k x 1 22 ( 2) 142 y k x xy   2 2 2 2 1 1 1(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k      ，……6 分 2 1 2 1 842 12M kx k  ，……7 分得 2 1 2 1 42 12M kx k   ， 1 2 1 4 12M ky k  设 NB 的方程为 2 ( 2)y k x 2 22 ( 2) 142 y k x xy   2 2 2 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k      ， 2 2 2 2 842 12N kx k   ，得 2 2 2 2 42 12N kx k   ， 2 2 2 4 12N ky k   ……8 分 212kkQ 22 21 22 21 4 2 16 2 1 2 1 8N kkx kk    ， 21 22 21 48 1 2 1 8N kky kk ……9 分 11 22 11 22 11 22 11 84 1 8 1 2 16 2 4 2 1 8 1 2 NM MN NM kk yy kkk kkxx kk        1 2 1 3 41 k k  ……10 分 直线 的方程为 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 4 3 4 2()1 2 4 1 1 2 k k kyxk k k       ……11 分 6 即 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 2 3 ( 3 2)4 1 4 1 4 1 k k ky x xk k k        所以直线 MN 经过定点 2( ,0)3 .……12 分 21（1） 2'( ) 2 xf x e a ……1 分 0a  时， '( ) 0fx ， ()fx在 R 上递增 ……2 分 0a  时，由 '( ) 0fx 得 1 ln22 ax  ，……3 分 1( , ln )22 ax  ， '( ) 0fx ， ()fx在 1( , ln )22 a 上递减 ； 1( ln , )22 ax  ， '( ) 0fx ， ()fx在 1( ln , )22 a  上递增 ……4 分 （2） 22( ) 1xf x e ax ax    变形为 22 10xe ax ax    令 22( ) 1xg x e ax ax    , 2'( ) 2 2xg x e ax a   令 '( ) 0gx ，可得 22 21 xea x  ……5 分 令 22() 21 xehx x  ， 2 2 8'( ) (2 1) xxehx x  ……6 分 0x  时， '( ) 0hx ， ()hx 在(0, ) 上单调递增 ……7 分 ()hx 的值域是(2, ) ……8 分 当 2a  时， 没有实根， '( ) 0gx ，……9 分 ()gx在 上单调递增, ( ) (0) 0g x g，符合题意. ……10 分 当 2a  时， 有唯一实根 0x ， 0(0, )xx 时， '( ) 0gx ，……11 分 ()gx在 0(0, )x 上递减， ( ) (0) 0g x g，不符题意. ……12 分 综上， a 的取值范围是 . 22（1）曲线 1C 转化为直角坐标： 2 4 cos   ， 2240x y x   ，……1 分 即 22( 2) 4xy   7 直线l 转化为直角坐标： 22cos sin 2 222   ，即 40xy   ……2 分 联立 22( 2) 4 40 xy xy         得到曲线 1C 和直线l 的交点 (4,0), ，……3 分(2, 2) ……4 分 它们的极坐标为 7(4,0),(2 2, )4  .（注：(4,0),(2 2, )4  也可以）……5 分 （2）由（1）得 22| | 2 2 2 2AB    ，……6 分 因此， PAB 的面积取得最小时也就是 P 到直线 的距离最小的时候 设 (2cos ,sin )P  则 到直线 的距离 | 2cos sin 4 | 2 d  ……7 分 | 5 cos( ) 4 | 2  ……8 分 当 cos( ) 1时， d 取得最小值 | 5 4 | 4 5 22  ……9 分 因此 的面积的最小值为 1 4 52 2 4 52 2     ……10 分 23（1）当 2a  时,| 2 2| | 1| 1xx    ……1 分 1x  时， 2 2 1 1xx    ，得 0x  ，即有 ……2 分 11x   时， 2 2 1 1xx    ，得 2x  ，即有 ……3 分 1x  时， 2 2 1 1xx    ，得 2 3x  ，即有 ……4 分 综上，不等式 ( ) 1fx 的解集为 R. ……5 分 （2） 22( ) ( ) ( ) | 2 | | | | 2 | | |g x f x f x x a x x a xaa             ……6 分 22| 2 | | 2 | | | | |x a x a x xaa        22| (2 ) (2 ) | | ( ) ( ) |x a x a x xaa        ……7 分 4| 2 | | |a a……8 分 42 | 2 | | | 4 2a ag ……9 分 8 当且仅当 22(2 )(2 ) 0,( )( ) 0x a x a x xaa      且 4| 2 | | |a a 时取“=” 函数 ()gx的最小值为 42……10 分