安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试卷（含答案）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测 数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为虚数单位，则（ ）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎2.已知等差数，若，则的前7项的和是（ ）‎ A．112 B．51 C．28 D．18‎ ‎3.已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（ ）‎ A． B． ‎ C．且 D． ‎ ‎4.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2 B． C． D． ‎ ‎6.已知某公司生产的一种产品的质量(单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（ ）‎ ‎（附：若服从，则，）‎ A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件 ‎7.将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（ ）‎ A． B．1 C．2 D． ‎ ‎11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）‎ A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 ‎12.已知函数(其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若平面向量满足，则 ．‎ ‎14.已知是常数，，且，则 ．‎ ‎15.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为 ．‎ ‎16.在四面体中，，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的内角的对边分别为，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的周长的最大值.‎ ‎18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 目，政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.‎ ‎（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 3 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，从而.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由（1）和余弦定理得，即，‎ ‎∴，‎ 即 (当且仅当时等号成立）.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，周长的最大值为.‎ ‎18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件，‎ 则，‎ 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率为.‎ ‎（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.‎ 因为,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 所以.‎ ‎19.（1）证明：连结，交于点，‎ ‎∴为的中点，∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵都垂直底面，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴为平行四边形，∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又∵，∴平面平面.‎ ‎（2）由已知，平面，是正方形.‎ ‎∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.‎ 设，则，从而，‎ ‎∴，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得.‎ 令，则，从而.‎ ‎∵，设与平面所成的角为，则 ‎，‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设椭圆的标准方程为，焦距为，则，‎ ‎∴，∴椭圆的标准方程为.‎ 又∵椭圆过点，∴，解得.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.‎ 设直线的斜率为，则直线，设.‎ 由消去得，.‎ 由得，从而，‎ ‎∴.‎ ‎∵点到直线的距离，‎ ‎∴的面积为.‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ 当即时，有最大值，，此时.‎ 所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎ ‎21.（Ⅰ）的定义域为，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵.‎ 令，则 ‎（1）若，即当时，对任意，恒成立， 即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）.‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎（2）若，即当或时，的对称轴为.‎ ‎①当时，，且.‎ 如图，任意，恒成立， 即任意时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎②当时， ，且.‎ 如图，记的两根为 ‎ ‎∴当时，；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，.‎ ‎∴当时，，‎ 当时，.‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）恒成立等价于，恒成立. ‎ 令，则恒成立等价于， . ‎ 要满足式，即在时取得最大值.‎ ‎∵.‎ 由解得.‎ 当时，，‎ ‎∴当时，；当时，.‎ ‎∴当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.‎ 所以，.‎ ‎22. （1）由得：.‎ 因为，所以， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即曲线的普通方程为. ‎ ‎（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. ‎ 设曲线上的动点，‎ 由动点在圆上可得：.‎ ‎∵‎ ‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1），‎ 或或 或，‎ 所以，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由条件知，不等式有解，则即可.‎ 由于，‎ 当且仅当，即当时等号成立，故.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费