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‎2015年上海市宝山区高三数学上学期期末模拟试卷（带答案）‎ 一.（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得0分．‎ ‎1．（3分）函数y=3tanx的周期是　π　．‎ 考点： 三角函数的周期性及其求法．‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由条件根据y=Atan（ωx+φ）的周期等于 T=，可得结论．‎ 解答： 解：函数y=3tanx的周期为=π，故答案为：π．‎ 点评： 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题．‎ ‎2．（3分）计算=　2　．‎ 考点： 二阶矩阵．‎ 专题： 计算题；矩阵和变换．‎ 分析： 利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．‎ 解答： 解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了矩阵的运算，属于基础题．‎ ‎3．（3分）（2014•嘉定区三模）=　　．‎ 考点： 极限及其运算．‎ 专题： 导数的概念及应用；等差数列与等比数列．‎ 分析： 利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．‎ 解答： 解：‎ ‎=‎ ‎=（+）=，故答案为：‎ 点评： 本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！‎ ‎4．（3分）二项式（x+1）10展开式中，x8的系数为　45　．‎ 考点： 二项式系数的性质．‎ 专题： 二项式定理．‎ 分析： 根据二项式（x+1）10展开式的通项公式，求出x8的系数是什么．‎ 解答： 解：∵二项式（x+1）10展开式中，‎ 通项为Tr+1=•x10﹣r•1r=•x10﹣r，‎ 令10﹣r=8，‎ 解得r=2，‎ ‎∴===45； 即x8的系数是45．故答案为：45．‎ 点评： 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据二项式展开式的通项公式进行计算，是基础题．‎ ‎5．（3分）设矩阵A=，B=，若BA=，则x=　2　．‎ 考点： 矩阵与向量乘法的意义．‎ 专题： 计算题；矩阵和变换．‎ 分析： 由题意，根据矩阵运算求解．‎ 解答： 解：∵A=，B=，BA=，‎ ‎∴4×2﹣2x=4；‎ 解得，x=2；‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了矩阵的运算，属于基础题．‎ ‎6．（3分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有　240　种．‎ 考点： 计数原理的应用．‎ 专题： 排列组合．‎ 分析： 利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决 解答： 解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，‎ 故答案为：240‎ 点评： 本题主要考查了排列问题的中的相邻问题，利用捆绑法是关键，属于基础题 ‎7．（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=　﹣　．‎ 考点： 运用诱导公式化简求值．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．‎ 解答： 解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，‎ ‎∴cosα=，‎ 又π＜α＜2π，‎ ‎∴sinα=﹣=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ 点评： 本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．‎ ‎　8．（3分）（2008•天津）若一个球的体积为，则它的表面积为　12π　．‎ 考点： 球的体积和表面积．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．‎ 解答： 解：由得，所以S=4πR2=12π．‎ 点评： 本题考查学生对公式的利用，是基础题．‎ ‎9．（3分）函数y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ的值是　　．‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据函数y=sin（2x+φ）的图象特征，若它是偶函数，只需要x=0时，函数能取得最值．‎ 解答： 解：函数y=sin（2x+ϕ）是R上的偶函数，就是x=0时函数取得最值，‎ 所以f（0）=±1‎ 即sinϕ=±1‎ 所以ϕ=kπ+（k∈Z），‎ 当且仅当取 k=0时，得φ=，符合0≤φ≤π ‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查了正弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题．‎ ‎10．（3分）正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于　　．‎ 考点： 异面直线及其所成的角．‎ 专题： 空间角．‎ 分析： 根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论．‎ 解答： 解：连结AC，BD相交于O，‎ 则O为AC的中点，‎ ‎∵E是PC的中点，‎ ‎∴OE是△PAC的中位线，‎ 则OE∥，‎ 则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角，‎ 设四棱锥的棱长为1，‎ 则OE==，OB=，BE=，‎ 则cos==，‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题 ‎11．（3分）（2004•福建）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于　4　．‎ 考点： 直线与圆的位置关系．‎ 专题： 综合题；数形结合．‎ 分析： 根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．‎ 解答： ‎ 解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．‎ 由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．‎ 知圆心A为（3，1），r=5．‎ 由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．‎ 在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，‎ 根据勾股定理可得BC===2，‎ 则弦长BD=2BC=4．‎ 故答案为：4‎ 点评： 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．‎ ‎12．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=　2sin（2x+）　．‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 首先，根据所给函数的部分图象，得到振幅A=2，然后，根据周期得到ω的值，再将图象上的一个点代人，从而确定其解析式．‎ 解答： 解：根据图象，得 A=2，‎ 又∵T==，‎ ‎∴T=π，‎ ‎∴ω=2，‎ 将点（﹣，0）代人，得 ‎2sin（2x+ϕ）=0，‎ ‎∵0≤ϕ≤π，‎ ‎∴ϕ=，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+），‎ 故答案为：2sin（2x+）‎ 点评： 本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中档题．解题关键是熟悉所给函数的部分图象进行分析和求解．‎ 二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．‎ ‎13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（　　）‎ ‎　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 任意角的三角函数的定义．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．‎ 解答： 解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，‎ ‎∴，‎ 由tanα＜0，得α在第二、四象限，‎ 由cosα＜0，得α在第二、三象限 ‎∴α在第二象限．‎ 故选B 点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．‎ ‎14．（3分）已知函数y=xa+b，x∈（0，+∞）是增函数，则（　　）‎ ‎　 A． a＞0，b是任意实数 B． a＜0，b是任意实数 C． b＞0，a是任意实数 D． b＜0，a是任意实数 考点： 指数函数的单调性与特殊点．‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 由幂函数的性质可知，a＞0，b是任意实数．‎ 解答： 解：∵函数y=xa+b，x∈（0，+∞）是增函数，‎ ‎∴a＞0，b是任意实数，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了幂函数的单调性的判断，属于基础题．‎ ‎15．（3分）在△ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（　　）‎ ‎　 A． 30°或60° B． 45°或60° C． 30°或120° D． 30°或150°‎ 考点： 正弦定理．‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 在△ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得 A的值．‎ 解答： 解：在△ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得 sinB=2sinAsinB，‎ 解得sinA=，‎ ‎∴A=30°或150°．‎ 故选D．‎ 点评： 本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎16．（3分）若loga3＜logb3＜0，则（　　）‎ ‎　 A． 0＜a＜b＜1 B． 0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 D． b＞a＞1‎ 考点： 对数函数的单调区间．‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 化loga3＜logb3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．‎ 解答： 解：∵loga3＜logb3＜0，‎ ‎∴＜＜0，‎ 即log3b＜log3a＜0，‎ 故0＜b＜a＜1，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．‎ ‎17．（3分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． 2 C． D． 1‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．‎ 解答： 解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）．‎ 渐近线方程为y=x或y=﹣x．‎ 由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，‎ d==2．‎ 故选A．‎ 点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．‎ ‎18．（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（　　）‎ ‎　 A． 1+3+5+…+（2k+1）=k2 B． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2‎ ‎　 C． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 D． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2‎ 考点： 数学归纳法．‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．‎ 解答： 解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2‎ 当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．‎ 故选B．‎ 点评： 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．‎ ‎19．（3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（　　）‎ ‎　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数代数形式的乘除运算．‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求．‎ 解答： 解：∵z=1+i，‎ 则复数+z2=，‎ ‎∴复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎20．（3分）（2004•陕西）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（　　）‎ ‎　 A． x+y﹣2=0 B． x+y﹣4=0 C． x﹣y+4=0 D． x﹣y+2=0‎ 考点： 圆的切线方程．‎ 专题： 计算题．‎ 分析：‎ ‎ 本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．‎ 解答： 解：法一：‎ x2+y2﹣4x=0‎ y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．‎ 该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．‎ ‎∴y﹣=（x﹣1），‎ 即x﹣y+2=0．‎ 法二：‎ ‎∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，‎ ‎∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．‎ 又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．‎ 解得k=，‎ ‎∴切线方程为x﹣y+2=0．‎ 故选D 点评： 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．‎ ‎21．（3分）“tanx=﹣1”是“x=﹣+2kπ（k∈Z）”的（　　）‎ ‎　 A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件　 C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件 考点： 函数奇偶性的性质．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 得出tan（=﹣+2kπ）=﹣1，“x=﹣+2kπ”是“tanx=﹣1”成立的充分条件；举反例tan=﹣1，推出“x=﹣+2kπ（k∈Z）”是“tanx=﹣1”成立的不必要条件．‎ 解答： 解：tan（﹣+2kπ）=tan （﹣）=﹣1，所以充分；但反之不成立，如tan =﹣1．‎ 故选：B 点评： 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．‎ ‎22．（3分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（　　）‎ ‎　 A． B． C． 5 D． 10‎ 考点： 向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ 专题： 计算题；平面向量及应用．‎ 分析： 通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．‎ 解答： 解：因为在四边形ABCD中，，，=0，‎ 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，‎ ‎，‎ 该四边形的面积：==5．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎23．（3分）（2006•天津）函数的反函数是（　　）‎ ‎　 A． B． ‎ C． D． ‎ 考点： 反函数．‎ 分析： 本题需要解决两个问题：一是如何解出x，‎ 二是如何获取反函数的定义域，求解x时，要注意x＜0的条件，因为涉及2个解．‎ 解答： 解：由 解得，‎ 又∵原函数的值域是：y＞2‎ ‎∴原函数的反函数是，‎ 故选D．‎ 点评： 该题的求解有2个难点，一是解出x有两个，要根据x＜0确定负值的一个，‎ 二是反函数的定义域要用原函数的值域确定，不是根据反函数的解析式去求．‎ ‎24．（3分）曲线y2=|x|+1的部分图象是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 曲线与方程．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，可得它的图象特征，结合所给的选项，得出结论．‎ 解答： 解：当x≥0时，y2=x+1表示以（﹣1，0）为顶点的开口向右的抛物线．‎ 当x＜0时，y2=﹣（x﹣1）表示以（1，0）为顶点的开口向左的抛物线，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎25．（8分）解不等式组：．‎ 考点： 其他不等式的解法．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 根据不等式的解法即可得到结论．‎ 解答： 解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4，‎ 由＞1得﹣1=＞0，‎ 解得3＜x＜5，‎ 所以，不等式解集为（3，4）．‎ 点评： 本题主要考查不等式组的求解，比较基础．‎ ‎26．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由已知得AA1∥BB1，从而tan∠CB1B==，进而BB1=4，由此能求出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．‎ 解答： 解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，‎ 异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，‎ ‎∴AA1∥BB1，‎ ‎∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，‎ 且tan∠CB1B==，…（4分）‎ ‎∵BC=AB=2，‎ ‎∴BB1=4，…（6分）‎ ‎∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=Sh=22×4=16．…（8分）‎ 点评： 本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎27．（10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．‎ ‎（Ⅰ）求直线PF的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；‎ ‎（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．‎ 考点： 直线的一般式方程；抛物线的应用．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．‎ ‎（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．‎ ‎（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），‎ 于是直线PF的斜率为，‎ 所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）‎ ‎（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，‎ 所以，x1x2=1．‎ 于是．‎ 点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，‎ 所以．‎ 因为m∈R且m≠0，于是S＞4，‎ 所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）‎ ‎=μ（x2+1，y2﹣m），‎ 于是，（x2≠±1）．‎ 所以．‎ 所以λ+μ为定值0．（14分）‎ 点评： 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．‎ ‎28．（10分）已知函数f（x）=（x∈R）．‎ ‎（1）写出函数y=f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）当x＞0时，是否存实数a，使v=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，若存在，求α的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）当a=0时，f（x）=是奇函数； 当a≠0时，函数f（x）=（x∈R），是非奇非偶函数． ‎ ‎（2）若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，化简得a＜+x恒成立，在求函数的最值．‎ 解答： 解：（1）因为y=f（x）的定义域为R，所以：‎ 当a=0时，f（x）=是奇函数； ‎ 当a≠0时，函数f（x）=（x∈R）．是非奇非偶函数． ‎ ‎（2）当x＞0时，‎ 若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，‎ 化简得a＜+x恒成立，‎ 因为x＞0，∴‎ 即，‎ 所以，当a＜4时，y=f（x）的图象都在函数g（x）=图象的下方．‎ 点评： 本题主要考查函数的奇偶性，同时考查函数恒成立的问题，主要进行函数式子的恒等转化．‎ ‎29．（12分）已知抛物线x2=4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，﹣2＜x＜4，如此继续．一般地，过点3＜x＜5作斜率为的直线交抛物线于点Pn+1，设点Pn（xn，yn）．‎ ‎（1）求x3﹣x1的值；‎ ‎（2）令bn=x2n+1﹣x2n﹣1，求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎（3）记P奇（x奇，y奇）为点列P1，P3，…，P2n﹣1，…的极限点，求点P奇的坐标．‎ 考点： 数列与解析几何的综合．‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）求出直线方程，联立抛物线方程，求出交点，即可得到；‎ ‎（2）设出两点点Pn（xn，）．Pn+1（xn+1，），由直线的斜率公式，再由条件，运用等比数列的定义，即可得证；‎ ‎（3）运用累加法，求得x2n+1=+，再由数列极限的概念，即可得到点P奇的坐标．‎ 解答： （1）解：直线OP1的方程为y=x，‎ 由　解得P1（4，4），‎ 直线P2P1的方程为y﹣4=（x﹣4），即y=x+2，‎ 由　得P2（﹣2，1），‎ 直线P2P3的方程为y﹣1=（x+2），即y=x+，‎ 由　解得，P3（3，），‎ 所以x3﹣x1=3﹣4=﹣1． ‎ ‎（2）证明：因为设点Pn（xn，）．Pn+1（xn+1，），‎ 由抛物线的方程和斜率公式得到，‎ ‎，‎ 所以xn+xn﹣1=，两式相减得xn+1﹣xn﹣1=﹣，‎ 用2n代换n得bn=x2n+1﹣x2n﹣1=﹣，‎ 由（1）知，当n=1时，上式成立，‎ 所以{bn}是等比数列，通项公式为bn=﹣；‎ ‎（3）解：由得，，，…，‎ ‎，‎ 以上各式相加得x2n+1=+，‎ 所以x奇=，y奇=x奇2=，‎ 即点P奇的坐标为（，）．‎ 点评： 本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查累加法求数列通项，及数列极限的运算，属于中档题．‎ 四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎30．（8分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 求出窗框的高为3x，宽为．推出窗框的面积，利用二次函数的最值，求解即可．‎ 解答： 解：如图设x，则竖木料总长=3x+4x=7x，三根横木料总长=6﹣7x，‎ ‎∴窗框的高为3x，宽为．…（2分）‎ 即窗框的面积 y=3x•=﹣7x2+6x．（ 0＜x＜） …（5分）‎ 配方：y=﹣7（x﹣）2+（ 0＜x＜2 ） …（7分）‎ ‎∴当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大．…（8分）‎ 点评： 本题考查二次函数的解析式的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎31．（10分）（2008•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．‎ 专题： 综合题；压轴题；转化思想．‎ 分析： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．‎ 解答： 解：‎ ‎（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，‎ 长半轴为2的椭圆．它的短半轴，‎ 故曲线C的方程为．（4分）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足 消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，‎ 故．（6分）‎ ‎，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，‎ 于是．‎ 所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）‎ 当时，，．，‎ 而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，‎ 所以．（12分）‎ 点评： 本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．‎ 设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n﹣2an（n∈N+）．‎ ‎（1）证明：{an﹣}是等比数列；‎ ‎（2）若a1=，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．‎ ‎（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．‎ 考点： 等比关系的确定；数列的函数特性；等差数列的通项公式．‎ 专题： 计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ 分析： （1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；‎ ‎（2）由（1）求出数列{an}的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；‎ ‎（3）运用数列{an}的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围．‎ 解答： （1）证明：因为==﹣2，‎ 所以数列{an﹣}是等比数列；‎ ‎（2）解：{an﹣}是公比为﹣2，首项为a1﹣=的等比数列．‎ 通项公式为an=+（a1﹣）（﹣2）n﹣1=+‎ 若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，‎ 即 解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列． ‎ ‎（3）解：如果an+1＞an成立，‎ 即＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．‎ 化简得，‎ 当n为偶数时，‎ 因为是递减数列，‎ 所以p（n）max=p（2）=0，即a1＞0； ‎ 当n为奇数时，，‎ 因为是递增数列，‎ 所以q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；‎ 故a1的取值范围为（0，1）．‎ 点评： 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎ ‎