日照一中2015届高三数学12月检测试题(有答案文科)
文 科 数 学
【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思
辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.
【题文】第I卷(共50分)
【题文】一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【题文】1.设集合,则
A. B. C. D.
【知识点】交、并、补集的混合运算.A1
【答案】【解析】B 解析:,∴ ,又∵ ,∴.故选B.
【思路点拨】利用集合的并集定义,求出;利用补集的定义求出.
【题文】2.若角的终边过点,则的值为
A. B. C. D.
【知识点】任意角的三角函数的定义.C1
【答案】【解析】B 解析:因为角的终边过点,所以,
所以故选B.
【思路点拨】利用任意角的三角函数的定义可求得,再利用二倍角的余弦即可求得答案.
【题文】3.设为平面,为直线,则的一个充分条件是
A. B.
C. D.
【知识点】直线与平面垂直的判定.G5
【答案】【解析】D 解析:对于选项A:,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m⊂α,故不正确;
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对于选项B:,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于选项C:,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于选项D:因为,所以,又因为所以.故选D
【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确.
【题文】4.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。C4
【答案】【解析】C 解析:由题意知,,故选C.
【思路点拨】由已知中已知函数的最小正周期为,我们易得到函数f(x)、g(x)的解析式,根据函数图象平移变换的法则,我们可以求出平移量,进而得到答案.
【题文】5.已知函数,则
A. B.0 C.1 D.2
【知识点】分段函数求值;对数的运算.B1 B7
【答案】【解析】D 解析:由得,即,于是.故选D.
【思路点拨】先由得出,再计算出结果即可。
【题文】6.函数的图象大致为
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【知识点】函数的图象.B8
【答案】【解析】A 解析:首先由为奇函数,得图象关于原点对称,排除C、D,又当时,知,选A.
【思路点拨】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.
【题文】7.已知四棱锥的三视图如图所示,则围成四棱锥的五个面中,最大的面积是
A.3 B.6
C.8 D.10
【知识点】由三视图求面积、体积.G2
【答案】【解析】C 解析:由三视图可知,几何体为四棱锥,且四棱锥的一个侧面与底面垂直,底面为矩形,矩形的边长分别为2,4,底面面积为8,
可以求得四个侧面的面积分别为,于是最大面积为8. 故选C.
【思路点拨】几何体为四棱锥,根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直,判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量,求出棱锥的高及侧面SBC的斜高,代入面积公式计算,比较可得答案.
【题文】8.在R上定义运算:.若关于的不等式的解集是集合
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的子集,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【知识点】一元二次不等式的应用.E3
【答案】【解析】D 解析:由题意得,,
所以,即. 当时,不等式的解集为空集,符合题意;
当时,不等式的集解为,又解集为的子集,所以,得;
当时,不等式的集解为,又解集为的子集,所以,
得.综上所述,的取值范围是..故选D.
【思路点拨】首先理解*运算的定义,得到不等式的具体形式,然后解不等式.不等式中有参数a,需要对参数的取值进行讨论,得到不等式的解集,然后再根据子集关系,确定出a的范围.
【题文】9.实数满足,若的最大值为13,则实数k的值是
A.2 B. C. D.5
【知识点】简单线性规划.E5
【答案】【解析】C 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:
由得,所以直线的截距最大,对应的也取得最大值,
即平面区域在直线的下方,且(当时,经验证不合
题意).平移直线,由图象可知当直线经过点A时,
直线的截距最大, 此时取最大值13,由解得,
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即,此时,解得故选C.
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【题文】10.已知定义在R上的函数是奇函数且满足,数列满足(其中为的前项和),则
A.3 B.2 C. D.
【知识点】函数奇偶性的性质;函数的周期性.B4
【答案】【解析】A 解析:由函数为奇函数得,又所以,所以,,
即函数是以3为周期的周期函数. 由两式相减并整理得,,即,所以数列是以2为公比的等比数列,首项为,故,所以,
所以故选A.
【思路点拨】先由函数f(x)是奇函数和,推知f(3+x)=f(x),得到f(x)是以3为周期的周期函数.再由a1=﹣1,且Sn=2an+n,推知a5=﹣31,a6=﹣63计算即可.
【题文】第II卷(共100分)
【题文】二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
【题文】11.设向量是夹角为60°的两个单位向量,则___________.
【知识点】向量的模.F2
【答案】【解析】 解析:因为向量是夹角为60°的两个单位向量,所以可得:
故答案为:
【思路点拨】由已知中,向量是夹角为60°的两个单位向量,根据公式可以求出向量的模.
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【题文】12.在中,角A,B,C的对边分别为,且,面积,则b=___________.
【知识点】三角形面积公式;余弦定理.C8
【答案】【解析】5 解析:由面积公式,带入已知条件得,再由余弦定理得故答案为:5.
【思路点拨】先由面积公式,带入已知条件得,再由余弦定理可解得b.
【题文】13.已知函数,若函数的图象在点处切线的倾斜角为,则___________.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11
【答案】【解析】4 解析:由题意,函数在点处的切线斜率是,即,又,
所以,即.故答案为:4.
【思路点拨】先求出函数f(x)的导函数,然后根据函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率等于1,建立关于a的方程,解之即可.
【题文】14.请阅读下列材料:
若两个正实数满足,求证:.
证明:构造函数,因为对一切实数,恒有,所以,从而得,所以.
根据上述证明方法,若个正实数满足时,你能得到的结论是__________________.
【知识点】类比推理.M1
【答案】【解析】 解析:类比给出的材料,构造函数,由对一切实数,恒有,所以,即可得到结论.故答案为:
【思路点拨】类比给出的材料,构造函数,由对一切实数,恒有,所以,即可得到结论.
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【题文】15.已知函数满足,当时,在区间上,函数恰有一个零点,则实数的取值范围是__________.
【知识点】函数零点的判定定理.B9
【答案】【解析】 解析:当时,,
则.在坐标系内画出分段函数图象:
由题意可知:.当直线与曲线相切时,
解得;所以的取值范围是.故答案为:
【思路点拨】根据题意画出图形,结合.当直线与曲线相切时,可解得;进而求出的取值范围。
【题文】三、解答题:本大题共6小题,共75分.
【题文】16.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)求函数的单调递减区间;
(II)当时,函数的最小值是,求的最大值.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.C3 C7
【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)
,
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令,得,
的单调递减区间 . ……6分
(Ⅱ),,
; ,令
所以. ……………12分
【思路点拨】(Ⅰ)利用三角恒等变换,将函数整理,即可求得函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)依题意,即可求得a的值,继而可得的最大值.
【题文】17.(本小题满分12分)
已知函数在区间上有最小值1和最大值4,设.
(I)求的值;
(II)若不等式在区间上有解,求实数k的取值范围.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.B5 B9
【答案】【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)
解析:(Ⅰ),因为,所以在区间上是增函数,
故,解得. …………………………6分
(Ⅱ)由已知可得,所以,可化为,
化为,令,则,因,故,
记,因为,故,
所以的取值范围是 . ……………………12分
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【思路点拨】(Ⅰ)由函数,,所以在区间上是增函数,故,由此解得a、b的值.(Ⅱ)不等式可化为,故有,,进而求出的最大值,从而求得k的取值范围.
【题文】18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中.平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,CB=3CG..
(I)求证:;
(II)AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG?若存在,求AM的长;若不存在,说明理由.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.G4 G5 G7
【答案】【解析】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
解析:(Ⅰ)证明:因为平面,所以.
又因为是正方形, 所以
又, 所以平面.
又因为面,所以 ………………………4分
(Ⅱ) 连结、交于点,连结,延长交于点,
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则//平面.
证明如下:
因为为的中点,是的中点,
所以//, ……………………………………8分
又因为平面,
所以//平面.
又≌,所以 所以所求的长为 …12分
【思路点拨】(Ⅰ)由PD⊥BC,BC⊥CD,推出BC⊥平面PCD,从而证明 PC⊥BC.(Ⅱ)连接AC,取AC中点O,连接EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA∥平面MEG,由三角形相似可得
【题文】19.(本小题满分12分)
设公比大于零的等比数列的前项和为,且,数列的前项和为,满足.
(I)求数列、的通项公式;
(II)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围.
【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5
【答案】【解析】(Ⅰ),(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)当时,经验证不符合题意;
当且时,由,,解得,
又, 所以. …………………3分
又 两式相减得(,
所以,
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当时,也满足上式,所以. …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以,要使数列是单调递减数列,
则对恒成立,
即恒成立,所以, ……10分
因为,
所以当或时, 所以. ……………12分
【思路点拨】(Ⅰ)利用,求出数列的公比,即可求数列的通项公式;通过,推出,利用累积法求解{bn}的通项公式.(Ⅱ)求出等比数列的前n项和,化简,推出Cn+1﹣Cn,利于基本不等式求出数列是单调递减数列,求实数λ的取值范围.
【题文】20.(本小题满分13分)
某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:
,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴.
(I)当时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.B10 E6
【答案】【解析】(Ⅰ)元;(Ⅱ)吨
解析:(Ⅰ)当时,设该项目获利为,则
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. …………………………4分
所以当时,.因此,该项目不会获利.
当时,取得最大值,
所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损. ………6分
(Ⅱ)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为:
. ………………8分
当时,
所以当时,取得最小值; ……………………10分
当时,
当且仅当,即时,取得最小值
因为,所以当每月处理量为吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 ……13分
【思路点拨】(Ⅰ)先确定该项目获利的函数,再利用配方法确定不会获利,从而可求政府每月至少需要补贴的费用;(Ⅱ)确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数,分别求出分段函数的最小值,即可求得结论.
【题文】21.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)当时,求的极值;
(II)当时,求的单调区间;
(III)若对任意及任意,恒有成立,求实数的取值范围.
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【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.B11 B12
【答案】【解析】(Ⅰ)极小值为无极大值.(Ⅱ)当时,的递减区间为和,递增区间为;当时,在上单调递减;当时,的递减区间为和,递增区间为 (Ⅲ)
解析:(Ⅰ)当时,,.
令,得令,得,即在上递减,在上递增,
所以的极小值为无极大值. …………………4分
(Ⅱ),
当即时,
令, 得或.令得
当即时,
令, 得,令, 得
当时,.
综上所述,当时,的递减区间为和,递增区间为;
当时,在上单调递减;
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当时,的递减区间为和,递增区间为.…9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,在区间上单调递减.
当时,取得最大值;当时,取得最小值.
.
因为恒成立,
即,整理得,
又所以恒成立.
由 得所以………………14分
【思路点拨】(Ⅰ)当时,,求导,令f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情况,确定函数的极值;(Ⅱ)当a<0时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数f(x)单调区间;(Ⅲ)若对任意,恒有成立,求函数f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数m的取值范围.
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