日照一中2015届高三数学12月检测试题（含答案理科）
理 科 数 学
【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思
辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.
【题文】第I卷(共50分)
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1.设集合，则等于
A. B. C. D.
【知识点】交、并、补集的混合运算．A1
【答案】【解析】B 解析：,∴ ,又∵ ,∴.故选B.
【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．
【题文】2.命题“对任意都有”的否定是
A.对任意，都有 B.不存在，使得
C.存在，使得 D.存在，使得
【知识点】命题的否定.A2
【答案】【解析】D 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得．故应选D．
【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可。
【题文】3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是
A. B.
C. D.
【知识点】直线与平面垂直的判定．G5
【答案】【解析】D 解析：对于选项A：，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；
对于选项B：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
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对于选项C：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
对于选项D：因为，所以，又因为所以.故选D
【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
【题文】4.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为
A. B. C.6 D.
【知识点】函数奇偶性的性质．B4
【答案】【解析】B 解析：由是定义在上的奇函数得，,故选B.
【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项.
【题文】5.设的图象是将函数向左平移个单位得到的，则等于
A.1 B. C.0 D.
【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．B1 C4
【答案】【解析】D 解析：由向左平移个单位得到的是，则.故选D.
【思路点拨】根据函数图象的平移首先得到函数的解析式，然后直接把代入即可得到答案．
【题文】6.等差数列中的是函数的极值点，则等于
A.2 B.3 C.4 D.5
【知识点】函数在某点取得极值的条件．B11
【答案】【解析】A 解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即
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,从而,选A.
【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．
【题文】7.函数的图象大致为
【知识点】函数的图象．B8
【答案】【解析】A 解析：首先由为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当时，知，选A.
【思路点拨】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．
【题文】8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于
A.30 B.12 C.24 D.4
【知识点】由三视图求面积、体积．G2
【答案】【解析】C 解析：由图可得几何体的直观图如右图，
可得此几何体的体积等于×3×4×5-××3×4×3=24.
【思路点拨】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可.
【题文】9.函数是定义在R上的偶函数，且满足时，
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，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【知识点】抽象函数及其应用．B10
【答案】【解析】A 解析：由可得函数的周期为2，
当时，，又为偶函数，则当时，，
由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象:
可得直线的斜率必须满足，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则，．即有．故选A．
【思路点拨】由可得函数的周期为2，
当时，，又为偶函数，则当时，，
由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足，运用斜率公式即可．
【题文】10.已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是
A. B. C. D.
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【知识点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．E5 F3
【答案】【解析】C 解析：画出约束条件的可行域，
由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是.
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论.
【题文】第II卷（共100分）
【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
【题文】11.向量满足的夹角为60°，则___________.
【知识点】平面向量的模的运算.F2
【答案】【解析】 解析：由得：, , .
【思路点拨】先把已知条件平方，展开再利用向量的运算即可。
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【题文】12.在中，的面积为，则BC的长为___________.
【知识点】余弦定理．C8
【答案】【解析】 解析：由,所以,所以,所以.
【思路点拨】本题主要考查了余弦定理的应用．对于已知两边和一角求三角形第三边的问题常用余弦定理来解决.
【题文】13.由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是___________.
【知识点】定积分在求面积中的应用．B13
【答案】【解析】 解析：由定积分的几何意义，得围成的面积.
【思路点拨】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由直线，曲线及轴所围成的图形的面积即求一个定积分即可，再计算定积分即可求得．
【题文】14.设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________________.
【知识点】二次函数的性质．B5
【答案】【解析】 解析：由题意得，由得：在R上恒成立，等价于＞0且，可解得，则：，
令，（＞0）,
故最大值为.
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【思路点拨】由已知可得在R上恒成立，等价于＞0且，，进而利用基本不等式可得的最大值．
【题文】15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间.例如，当.现有如下命题：
①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且
④若函数有最大值，则.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）
【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．A1 A2 B3
【答案】【解析】①③④ 解析：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；
（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；
（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B，
则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（＞-2，）有最大值，
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∴假设＞0，当→时，→0，→，∴→，则→．与题意不符；
假设＜0，当→-2时，→，→，∴→，则→．与题意不符．∴=0．
即函数=（＞-2）
当＞0时，+≥2，∴≤,即0＜≤；
当=0时，=0；
当＜0时，+≤−2，∴−≤＜0，即−≤＜0．
∴−≤≤．即．故命题④是真命题．
故答案为①③④．
【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.
【题文】16.（本小题满分12分）
已知函数.
（I）求函数的单调递减区间；
（II）设时，函数的最小值是，求的最大值.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．C3 C7
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）
，
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令，得，
的单调递减区间 . ……6分
（Ⅱ），,
； ，令
所以. ……………12分
【思路点拨】（Ⅰ）利用三角恒等变换，将函数整理，即可求得函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）依题意，即可求得a的值，继而可得的最大值．
【题文】17.（本小题满分12分）
已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.
（I）求的值；
（II）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ），因为，所以在区间上是增函数，
故，解得． …………………………6分
（Ⅱ）由已知可得，所以,可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是 . ……………………12分
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【思路点拨】（Ⅰ）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（Ⅱ）不等式可化为，故有，，进而求出的最大值，从而求得k的取值范围．
【题文】18.（本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF=1.
（I）求证：平面ACFE；
（II）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.
【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．G4 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）。
解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，
∵∥,
,∴,∴,
∴,∴,
∴平面平面,平面平面,平面,
∴平面. …………5分
（Ⅱ）由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，
令，则，,
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∴ .
设为平面MAB的一个法向量，
由，得,
取，则，…………7分
∵ 是平面FCB的一个法向量,
∴ .…………9分
∵ , ∴ 当时，有最小值，
当时，有最大值,∴ .…………………12分
【思路点拨】（I）梯形中，∵∥,
,∴,∴,
∴,∴，由此能够证明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，则，设为平面MAB的一个法向量，
由，得，由是平面FCB的一个法向量，利用向量法能够求出cosθ．
【题文】19.（本小题满分12分）
已知数列满足，等比数列为递增数列，且.
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（I）求；
（II）令，不等式的解集为M，求所有的和.
【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．D1 D3 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）设的首项为，公比为，所以，解得 …2分
又因为，所以
则，，解得（舍）或 …………4分
所以 …………6分
（Ⅱ）则,
当为偶数，，即，不成立
当为奇数，，即，
因为，所以 …………9分
则组成首项为，公差为的等差数列;组成首项为，公比为的等比数列则所有的和为
…………12分
【思路点拨】（Ⅰ）设的首项为，公比为，可得，解得．再利用，可得，即可得出．（II）由（I）可得：．当为偶数，不成立．当为奇数，，可得，得到m的取值范围．可知组成首项为，公比为的等比数列．求出即可．
【题文】20.（本小题满分13分）
某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
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（I）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（II）试确定的值，使得绿化带总长度最大.
【知识点】弧度制的应用．C1
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）如图，连接BC，设圆心为O，连接CO，在直角三角形ABC中，AB=100，，所以.
由于，所以弧的长为． ……………………6分
所以.
（Ⅱ）则 ……………………8分
列表如下：
所以，当时，取极大值，即为最大值.
答：当时，绿化带总长度最大. ……………………13分
【思路点拨】（Ⅰ）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大。
【题文】21.（本小题满分14分）
已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.
（I）求的值，当时，求函数的单调增区间；
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（II）当时，求函数在区间上的最小值；
（III）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.
【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值.B11 B12
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）曲线在点处的切线不平行于直线.
解析：（Ⅰ）由是函数的零点可求得.
，
因为，，所以，解，得，
所以的单调增区间为 ……………………4分
（Ⅱ）当时，由，得，，
①当，即时，在上是减函数，
所以在上的最小值为.
②当，即时，
在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为.
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③当，即时，在上是增函数，
所以的最小值为.
综上，函数在上的最小值，
……………………8分
（Ⅲ）设，则点的横坐标为，
直线的斜率
，
曲线在点处的切线斜率
，
假设曲线在点处的切线平行于直线，则，
即，
所以 ，不妨设，，则，
令，，
所以在上是增函数，又，所以，即不成立，
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所以曲线在点处的切线不平行于直线. ……………14分
【思路点拨】（Ⅰ）根据已知条件先求出b,再对原函数求导，进而求出单调区间；（Ⅱ）对a进行分类讨论，最后求出最值即可；（Ⅲ）先求出直线的斜率以及曲线在点处的切线斜率，再假设曲线在点处的切线平行于直线，则，最后利用导数判断即可。
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