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淮海中学2015届高三数学二统模拟测试1（含答案）‎ ‎ 试 题I 2015.1.9‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝ ▲ .‎ ‎2．复数 (i为虚数单位)的实部等于 ▲ .‎ Read a S0‎ I1‎ While I≤3 ‎ ‎ SS＋a ‎ aa×2‎ II＋1‎ End While Print S 第(6)题 ‎3．右图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图， ‎ 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ▲ .‎ ‎4.已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝ ▲ .‎ ‎5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现 2 点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为 ▲ .‎ ‎6.根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的 值为 ▲ .‎ ‎7．已知为等比数列，，则 ▲ .‎ ‎8．已知，,则 ▲ .‎ 第（10）题 ‎9．已知函数．若则f (1)的最大值为 ▲ . ‎ ‎10．如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC， 则三棱锥B1 ABC1的体积为 ▲ .‎ ‎11.已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线 的切线，则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎ ‎ 第（12）题 ‎12.如图，在中，，的平分线交于,若，且,则的长为 ▲ .‎ ‎13．已知,,点P在圆上,满足 =40，若这样的点P有两个，则r的取值范围是 ▲ .‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 ‎14.已知函数， 若有3个零点， 则的取值范 围是 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在△中，内角所对的边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，‎ P B C D E A BP＝BC，E为PC的中点．‎ ‎ （1）求证：AP∥平面BDE；‎ ‎ （2）求证：BE⊥平面PAC．‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 ‎17．（本小题满分14分）‎ 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. ‎ ‎（1）设，把y表示成的函数关系式；‎ ‎（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？‎ O B C A P ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 ‎19．（本题满分16分）‎ 已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.‎ ‎ （1）若a4＝b3，b4－b3＝m. ‎ ‎ ①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎ ②若数列{bn}是唯一的，求m的值；‎ ‎ （2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最 ‎ 大值.‎ ‎20（本题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的单调增区间和最小值；‎ ‎（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；‎ ‎（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线；‎ 之间，当与间的距离最小时，求实数的值．‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 安市淮海中学2015届高三Ⅲ部冲刺二统模拟测试（一）2015.1.9‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． ‎ ‎1．{1，2} 2．－3 3．6.8 4．1 5． 6．21 7．-7‎ ‎8． 9．7 10． 1 1． 12． 13． 14．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎（1）法一：由题意知M·N．…………… 2分 ‎∴． 即 ‎∴，即．‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，即．…………………………… 7分 法二：由题意知M·N． ‎ ‎∴． ‎ 即．‎ ‎∴，即 ‎∵，∴．‎ ‎（2）法一：由余弦定理知，即，‎ ‎∴，解得，（舍去）………………… 10分 ‎∴△的面积为．……………… 14分 ‎16（本小题满分14分）‎ 证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………4分 因为AP平面BDE，OE平面BDE，所以AP∥平面BDE．…………………………6分 ‎（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ 所以BC⊥平面PAB． …………………………8分 因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，‎ 所以PA⊥平面PBC． ……………………………………12分 因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．‎ 因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，所以BE⊥平面PAC． ……………14分 ‎17、（本小题满分14分）‎ ‎【解】（1）在中，所以=OA=.所以 由题意知. ……………………2分 ‎ 所以点P到A、B、C的距离之和为 ‎ .  ……………………6分 故所求函数关系式为. ……………………7分 ‎（2）由（1）得，令即，又，从而. ……………………9分.‎ 当时，；当时, .‎ 所以当 时，取得最小值， ………………… 13分 此时（km），即点P在OA上距O点km处. ‎ ‎【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 14分 ‎18. （本小题满分16分）‎ ‎【答案】解:(1)由在椭圆上得, ① ‎ 依题设知,则 ② ‎ ②代入①解得. ‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 故椭圆的方程为. ……………………………6分 ‎(2)方法一:由题意可设的斜率为, ‎ 则直线的方程为 ③ ‎ 代入椭圆方程并整理,得, ‎ 设,则有 ‎ ‎ ④ ‎ 在方程③中令得,的坐标为. ‎ 从而. ‎ 注意到共线,则有,即有. ‎ 所以 ‎ ‎ ⑤ ……………………………10分 ④代入⑤得, ‎ 又,所以.故存在常数符合题意. …………………16分 ‎19. （本小题满分16分）‎ 解析：（1）①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3，‎ ‎ 由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3． ………………2分 ‎ 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，‎ 若m＝18，‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 则有解得或 ‎ ‎ 所以，{an}和{bn}的通项公式为或………………4分 ‎ ‎ ② 由题设b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0（*）．‎ 因为数列{bn}是唯一的，所以 若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；‎ 若q≠0，则(－3)2＋‎12 m＝0，解得m＝－，代入（*）式，解得q＝，‎ 又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意． ‎ 所以，m=0或－ ． ………………8分 ‎ （2）依题意，36＝(a1＋b1) (a3＋b3)， ‎ 设{bn}公比为q，则有36＝(3－d＋)(3＋d＋3q)， （**） ‎ 记m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，则mn=36．‎ 将（**）中的q消去，整理得： d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0 ………………10分 d的大根为 ＝ ‎ ‎ 而m，n∈N*，所以 (m，n)的可能取值为：‎ ‎ (1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ．‎ ‎ 所以，当m＝1，n＝36时，d的最大值为 ． ………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解（1）因为，由，得，‎ 所以的单调增区间为，……………………………………………………2分 又当时，，则在上单调减，‎ 当时，，则在上单调增， ‎ 所以的最小值为． …………………………………………………5分 ‎（2）因为，，‎ 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 设公切点处的横坐标为，则与相切的直线方程为：，‎ 与相切的直线方程为：， ‎ 所以 …………………………………………………………8分 解之得，由（1）知，所以． …………………………10分 ‎（3）若直线过，则，此时有（为切点处的横坐标），‎ 所以，， ………………………………………………………………11分 当时，有，，且，‎ 所以两平行线间的距离，………………………………………12分 令，因为，‎ 所以当时，，则在上单调减；‎ 当时，，则在上单调增，‎ 所以有最小值，即函数的图象均在的上方，………………13分 令，则 ‎， ‎ 所以当时，，………………………………………………………15分 所以当最小时，，．…………………………………………………16分 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页 高三冲刺二统模拟测试数学试卷 第 10 页 共 10 页