淮海中学2015届高三数学1月统考模拟试卷（附加题带答案）
2015.1.5
数 学 试 题 数 学II（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。http://www.mathedu.cn
21【选做题】本题包括四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE ＝ EF．
B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．
高三月考数学试卷附加卷第 4 页 共 4 页
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数
（Ⅰ）当的最小值；
（Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22（本题满分10分）
如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足（R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．
23．(本小题满分10分)
已知数列{an}满足：．
（1）若，求数列{an}的通项公式；
（2）若，试证明：对，an是4的倍数．
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淮安市淮海中学2015届高三月考数学附加题参考答案及评分标准2015.1
21．解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，
即；
由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，
即，…………………5分
解得即＝，逆矩阵是.…………………10分
22. 解析：将曲线C1的参数θ消去可得(x－3)2＋(y－4)2＝1．
将曲线C2化为直角坐标方程为x2＋y2＝1． ………………5分
曲线C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
可求得两圆圆心距为＝5，
所以，AB的最小值为5－1－1＝3． ………………10分
23．解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），------------------------2分
从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM; ----------------------------------------------------------4分
（2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0,0,1）．
设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），
由（1）得＝（λ，－1，）．
由
解得．------------6分
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
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∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，
解得λ＝－． --------------------------------------------8分
故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝． ----------------------10分
24．解：(1)当时，．
令，则．
因为奇数，也是奇数且只能为，
所以，即 ……………………………3分
(2)当时，．………………………………4分
下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．
当时，，命题成立；
设当时，命题成立，则存在N*，使得，
，
其中，，
，当时，命题成立．
由数学归纳法原理知命题对成立．……………………………………10分
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