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‎2014-2015赣县高二数学1月月考理科试题（新人教有答案）‎ ‎ 2015-1‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）‎ ‎1．设向量=，=，则“”是“//”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．下列四种说法中，错误的个数是（ ）‎ ‎①A={0，1}的子集有3个 ‎②“若，则”的逆命题为真 ‎③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件 ‎④命题“，均有”的否定是：“，使”‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）‎ A．62 B．63 C．64 D．56‎ ‎4．在区间上随机取一个，的值介于与之间的概率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5．三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯侧视图 正视图 ‎1‎ 俯视图 视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)‎ A.1 B.2 C. D.4‎ ‎7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．已知圆与圆相外切, 则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．设椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心，（为椭圆中心）为半径作圆，若它与椭圆的一个交点为，且恰好为圆的一条切线，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是 （ ） ‎ A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将各小题的结果写在横线上）‎ ‎11．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的 表面积为 .‎ ‎12.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果是 ．‎ ‎13．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则 ．‎ ‎14．已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．‎ ‎15．以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；‎ ‎②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；‎ ‎③，则双曲线与的离心率相同；‎ ‎④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.‎ 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）‎ ‎16．命题: “方程表示双曲线” ()；命题:定义域为，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎17．某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组， ，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；‎ ‎（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．‎ ‎18.平面内动点到定点的距离比它到轴的距离大。‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点A(3,2), 求的最小值及此时P点的坐标．‎ ‎19. 如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.B O C D A 若P为AC上的点，且满足。‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知圆A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(1)若直线l：ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且过点 ‎（1）求椭圆的标准方程：‎ ‎（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若 ‎①求的最值：‎ ‎②求证：四边形ABCD的面积为定值.‎ ‎，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，设的离心率分别为，则有，，所以③正确；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确 ‎16. : 由得： ‎ ‎: 令，由对恒成立． ‎ ‎（1）当时, ,符合题意． ‎ ‎（2）当时，，‎ 由得，解得： ‎ 综上得：:． ‎ 因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假． ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴或．‎ ‎17. （1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：‎ ‎（人）‎ 所以该班成绩良好的人数为27人． 5分 ‎（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；‎ 成绩在的人数为人，设为、、、.‎ 若时，有 3种情况；‎ 若时，有6种情况；‎ 若分别在和内时，共有12种情况.‎ 所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.‎ ‎∴（）． 12分 ‎18. （1）由题意，动点到定点的距等于它到x=-1的距离，由抛物线的定义知，p=2,所以所求的轨迹方程为 ‎（2）设点P在准线上的射影为D,记抛物线y2＝2x的焦点为F（1,0），准线l是x= -1，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即PF=PD ,‎ 因此PA +PF=PA+ PDAD=4, 即当D，P，M三点共线时PA+PD最小，此时P(1,2)‎ ‎19. （Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，‎ 又边长为2， ‎ 由于，在中， ‎ ‎， ‎ ‎（Ⅱ）, ‎ ‎（Ⅲ）解法一：过，连接AE，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即二面角的余弦值为. ‎ 解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 显然，平面的法向量为 ‎ ‎ 设：平面的法向量，‎ 由,，‎ ‎ ‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20. 21．（1） （2）(x－)2＋(y－)2＝‎ ‎【解析】(1)圆A的方程即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为A(1,1)，半径为r＝2.‎ 由题意知直线l经过圆心A(1,1)，所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.‎ 原点O到直线l的距离d＝.‎ 因为a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝2(a－2)2＋8，所以当a＝2时，a2＋b2取得最小值8.‎ 故d的最大值为＝.‎ ‎(2)由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A.‎ 设圆B的圆心为B(a,2a)，半径为R.如图所示，在圆B中，‎ 由垂径定理并结合图形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋(a－1)2＋(2a－1)2＝5(a－)2＋.‎ 所以当a＝时，R2取得最小值.‎ 故符合条件且半径最小的圆B的方程为(x－)2＋(y－)2＝.‎ ‎21.解：‎ ‎(2)设