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‎2014-2015大庆铁人中学高二上学期数学理科期末试卷（新人教附答案）‎ 试卷说明：‎ ‎ 1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。‎ ‎ 2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．复数z＝的共轭复数是(　　)‎ A．－1＋i B．－1－i C．2＋i D．2－i ‎2．已知命题p：∃x0∈C，x＋1 B．m≥1 C．m>1 D．m>2‎ ‎6．下列命题中，假命题是(　　)‎ ‎ A．若命题p和q满足p∨q为真，p∧q为假，，则命题p与q必一真一假 B．互为逆否命题的两个命题真假相同 C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件 D．若f(x) =2x，则f ′(x)＝x·2x－1‎ ‎7．阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是(　　)‎ A．5 049 B．5 050 C．5 051 D．5 052‎ ‎8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，当x＝3时，v3的值为(　　)‎ A．789 B．‎262 C．86 D．27‎ ‎9．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：＋＝1，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在A点处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程可能是(　　)‎ A．2(4－) B．2(4＋) C．16 D．以上均有可能 ‎10．函数y＝x3－3x＋k有三个不同的零点，则k的取值范围是(　　)‎ A． (2，＋∞) B．(－2，2) C．(－∞，－,2) D．[－2，2]‎ ‎11．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)‎ A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－3,0)∪(3，＋∞)‎ ‎12．已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积S为(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积V为________” 。‎ ‎14．如图所示，从长方形OABC内任取一个点P(x，y)，则点P取自阴影部分的概率为_______。‎ ‎15．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：‎ 产量x(千件)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 成本y(万元)‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎12‎ 由表中数据得到的线性回归方程＝x＋中＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元。‎ ‎16．若在抛物线2y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋3对称，则实数k的取值范围是____________。‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17（本小题满分10分) ‎ 数列{an}满足 (n∈N*)，且，‎ ‎(I)计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；‎ ‎(II) 请用数学归纳法证明你在(I)中的猜想。‎ ‎18（本小题满分12分）‎ 某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生,根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示,其中成绩分组区间是：、、、、‎ ‎，‎ ‎(I) 求图中的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50,60)中的学生人数；‎ ‎(II) 从样本中成绩在[50,70)的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率。‎ ‎19（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，‎ ‎(I)求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；‎ ‎(II)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程。‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx，其中a、b是实数，‎ ‎(I)已知a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}，求事件A：“f(x)是R上的单调增函数”发生的概率；‎ ‎(II)若f(x)是R上的奇函数，且b＝－4, 求f(x)的单调区间与极值。‎ ‎21（本小题满分12分）‎ 已知椭圆E与双曲线焦点相同，且过点，‎ ‎(I) 求椭圆E的方程；‎ ‎(II) 直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若四点都在椭圆E上，求四边形ACBD面积S的取值范围。‎ ‎22（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=(a＋1)lnx＋x2－x ，‎ ‎ (I)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(II) 讨论函数的单调性；‎ ‎(III) 设,如果对任意,均有，求的取值范围。‎ ‎17．解: (I) a2＝; a3＝; a4＝,由此猜想an＝ (n∈N*) …5分 ‎(II)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立，‎ ‎②假设n＝k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,即ak＝,当n＝k＋1时,ak＋1＝‎ ‎∴当n＝k＋1时结论成立，由①②，对于一切的正整数n∈N*，an＝成立 …………10分 ‎18．解： (I)由题可知组距为10， (2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1，解得a＝0.005 …………3分 该校总人数为400，由图,知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1，由此估计该范围内的人数为40 …6分 ‎(II)记[50,60)范围内的有2人，[60,70)范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，‎ 其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此所求概率为 ………12分 ‎19．解：(I)由题，抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝－2； …………4分 ‎(II)由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；‎ ‎②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；‎ ‎③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx＋2，由得ky2－8y＋16＝0，‎ 由Δ＝64－64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，‎ 因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0。（用其他方法解答的请酌情给分） …………12分 ‎20．解：(I) 当a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个，‎ 事件A即f ′(x)＝x2－2ax＋b≥0恒成立，即a2≤b,包含5个基本事件,即事件A发生的概率为; ……6分 ‎(II) f(x)＝x3－4x， f ′(x)＝x2－4，由f ′(x)＝0可知x＝±2，列表如下：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f ′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－2,2)，‎ f(x)在x＝－2处取得极大值；f(x)在x＝2处取得极小值。 …………12分 ‎21．(I)由题可设椭圆E：(a>b>0)，其中，解得，‎ 即椭圆E的方程为； …………4分 ‎(II)由题，分两类讨论：①若为椭圆E的顶点，则S=， …………6分 ‎②‎ ‎,同理,，‎ S=‎ ‎，S，‎ 由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是（用其他方法解答的请酌情给分） ……12分 ‎22．解：(I)由题，时，，故所求切线方程为3x－y－3＝0； ………4分 ‎(II) f(x)定义域为， f ′(x)＝，，‎ ‎①时，f(x)在上为增函数；‎ ‎②时，f(x)增区间为，减区间为;‎ ‎③时，f(x)增区间为，减区间为; …8分 ‎(III) 由(II)，时， f(x)在上为增函数，不妨设，则有，即恒成立，‎