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湖北两校2015年1月高二数学联考试卷（理科附答案大纲版）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 ‎1、已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、在空间中，若、表示不同的平面，、、表示不同直线，则以下命题中正确的有（ ） ‎ ‎①若∥，∥，∥，则∥ ②若⊥，⊥，⊥，则⊥ ③若⊥，⊥，∥，则∥ ④若∥，，，则∥‎ A．①④ 　　　 B．②③ 　 　 C．②④ 　　 D．②③④‎ ‎3. 某大学数学专业一共有位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有位同学的编号应该为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 两变量与的回归直线方程为,若,则的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 从,,,,,,中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”， 事件“取到的两个数均为偶数”，则= ( )‎ A． B． C． D． ‎ 图2‎ ‎7．如图2是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中m为0～9中的一个正整数)，现将甲、乙所得的一个最 高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 ‎,中位数分别为,则有(　 　)‎ A． , ， B． , ‎ C． , ， D．与大小均不能确定 ‎8．2014年索契冬奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 (　 　)A．18种 B．36种 C．48种 D．72种 ‎9.已知椭圆的焦点为；在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使的概率是（ ）A. B. C. D.‎ ‎10．已知矩形，，．将△沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是 （ ）‎ A．存在某个位置，使得直线与直线垂直 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．存在某个位置，使得直线与直线垂直 D．对任意位置，三对直线“与”，“ 与”，“ 与”均不垂直 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 二、填空题：每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 . .‎ ‎12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为 .‎ ‎13. 随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=a(11-2k)(k＝1，2，3，4,5)，其中a是常数，则P(＜ξ＜) 的值为 . ‎ ‎14．已知圆点在直线上,为坐标原点.若圆上存在点使得,则的取值范围为 .‎ ‎15．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）一组数据,,,,的平均数是,是这组数据的中位数,设. ‎ ‎（1）求的展开式中的项的系数; ‎ ‎（2）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 4‎ 号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．‎ ‎（1）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？‎ ‎（2）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？‎ ‎（3）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？‎ ‎18. (本小题满分12分)已知圆C的圆心在射线上，圆C与轴相切，且被直线截得的弦长为 ，求：‎ ‎(1)求圆C的方程；(2)点为圆C上任意一点，不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎19.（本小题满分12分）医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定: 能力参数不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力的频率分布直方图:‎ ‎ （1）求出这个样本的合格率、优秀率;‎ （2） 现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20‎ ‎ 名医生中随机选出2名.‎ ‎ ①求这2名医生的能力参数在这六组中为同一组的概率;‎ ‎ ②设这2名医生中能力参数为优秀的人数为,求随机变量的分布列和期望.‎ B ‎ A ‎ P ‎ C ‎ ‎20．（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，，，，，且平面平面．‎ ‎（1）求直线与平面所成的角的正切值；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ ‎21．（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）设经过点M（0，2）作直线A B交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值；‎ ‎ （3）设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ 湖北省武穴中学罗田一中2015年高二数学元月份联考试题答案 4‎ 一．1———5 6-------10 二11. 12. 13. 14. 15.‎ ABBBD CBDBC 三．16. 解：（I）依题意有：得：，‎ 不妨设，则，则这组数据的中位数是7，故，‎ 的展开式中，，‎ 故展开式中的项的系数为 ―――――――6分 ‎ ‎（II）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，即最大项为 , ‎ 第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，‎ 即最小项为 ――――12分 ‎17.解：（Ⅰ）1号球放在1号盒子中，2号球放在2号的盒子中有（种）．……4分 ‎（Ⅱ）3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有两种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有（种）……8分 ‎（Ⅲ）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，则符合题意的放法有（种）．………12分 ‎18.解：（1）解：依题设圆心坐标（（）..1’又圆与轴相切，所以圆的半径…‎2’‎ 所以圆的方程可设为…..3’‎ ‎ ，……‎‎4’‎ 由点到直线的距离公式得………..‎5’‎解得 ，又，所以 …‎.6’‎ 所以圆C方程为…‎‎7’‎ ‎（2）方法一：三角换元 设， （）……………………..‎‎8’‎ ‎ 则…….…‎‎9’‎ 因为对任意恒成立，所以…‎.10’‎ 所以………..‎‎12’‎ ‎ 方法二：几何法 作直线，然后向下平移至与圆C相切或相离时有恒成立 由点到直线距离公式得，且 所以得 （此种方法请老师酌情给分）‎ ‎19. 解：（I）解: 各组的频率依次为0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05,∴这个样本的合格率为1－0.2=0.8,‎ ‎ 优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3 ―――――――3分 ‎ （II）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中,各组人数依次为4,6,4,3,2,1.从20名医生中随机选出2名的方法数为,选出的2名医生的能力参数为同一组的方法数为 .‎ 故这2名医生的能力参数为同一组的概率―――――――7分 ②20名医生中能力参数为优秀的有6人,不是优秀的有14人.依题意, 的所有可能取值为0,1,2,则 ‎ ,.∴的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ∴的期望值.――――――12分 ‎ B ‎ A ‎ P C ‎ O ‎ ‎20.解：（Ⅰ）过点作于，连接．由平面平面，知平面，即所成的角．……………2分 因为不妨设PA=2，则OP=, AO= 1，AB=4．‎ 因为，所以，OC=．‎ B ‎ A ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 在Rttan．‎ 即直线与平面所成的角的正切值为．……………6分 ‎（2）过C作CD于Ｄ，由平面平面，知CD平面PAB.‎ 过点Ｄ作DE PA于E，连接CE，据三垂线定理可知CE⊥PA，‎ P 所以，.…………9分由（1）知AB=4，又，，‎ 所以CD=，DE=．在Rt△CDE中，tan 故 ……………13分 ‎21．解：（Ⅰ）设，则，知.‎ 4‎ ‎ 过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有 ‎ ，解得. 于是，解得.‎ ‎ 又，从而. 所以椭圆的方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）设，.由题意可设直线的方程为.‎ 由消去并整理，得.‎ 由，得.且.‎ 点到直线的距离为，，‎ ‎ .‎ 设，由，知.于是.‎ 由，得.当且仅当时成立.‎ 所以△面积的最大值为.…………………………………………（9分）‎ ‎（Ⅲ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心.‎ 设，因为，，所以.‎ 由，知．设直线的方程为，‎ 由得．‎ 由，得，且,．‎ 由题意，有.因为，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 于是．解得或．‎ 经检验，当时，△不存在，故舍去．‎ 当时，所求直线存在，且直线的方程为．……………（14分）‎ 4‎