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青浦区2014年高三数学第一学期期终质量调研试卷（有答案）‎ ‎2015.01.09‎ ‎（满分150分，答题时间120分钟）‎ 学生注意：‎ 1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．‎ 2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．‎ 3． 可使用符合规定的计算器答题．‎ 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．若复数（为虚数单位），则的值为_____________.‎ ‎2. 设是等差数列的前项和，若，则 . ‎ ‎3．展开式中有理项的个数是 . ‎ ‎4．直线的倾斜角 . ‎ ‎5．已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 ． ‎ ‎6．平面截半径为的球所得的截面圆的面积为，则球心到平面的距离为__ _ _ .‎ ‎7．函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点 . ‎ ‎8. 已知函数对任意的满足，且当时，．若 有4个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎9.抛物线的动弦的长为，则弦中点到轴的最短距离是 . ‎ ‎10．若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有 种. ‎ ‎11．已知，则无穷数列前项和的极限为 . ‎ ‎12.已知正实数满足，则的最小值为 ． ‎ ‎13. 设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数 ‎，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数 ‎，，则 . ‎ ‎14.当和取遍所有实数时，恒成立，则的最小值为 . ‎ 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15.已知，则向量与向量的夹角为………（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎16.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是…………………………………………………………………………………………（ ）.‎ ‎（A）若 ，则// （B）若 ，则 ‎ ‎（C）若 ，则//或 （D）若 // ，则 ‎ ‎17．设为正实数，则“”是“”成立的………………（ ）．‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎18.设函数，函数，则方程实数根的个数是……………………………………………………………………………（ ）.‎ ‎（A）个 （B）个 （C） 个 （D）个 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ 第19题图 ‎ ‎19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.‎ 如图所示，在长方体中，，，‎ ‎，为棱上一点.‎ ‎（1）若，求异面直线和所成角的正切值；‎ ‎（2）若，求证平面.‎ ‎20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.‎ 第20题图 ‎ 如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．‎ ‎（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；‎ ‎（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?‎ ‎ [来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 第21题图 ‎ ‎21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. ‎ 如图所示的“‎8”‎字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．‎ ‎（1）试求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“‎8”‎字形曲线上求点，使得是直角．‎ ‎22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.‎ 已知数列是公差不为的等差数列，数列是等比数列，且，，数列的前项和为，记点．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：点在同一直线上，并求出直线方程；‎ ‎（3）若对恒成立，求的最小值．‎ ‎23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.‎ 已知函数. ‎ ‎（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围.‎ 青浦区2014学年第一学期高三期终学习质量调研测试 参考答案及评分标准 2015.01‎ 说明 ‎1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．‎ ‎2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．‎ ‎3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．‎ ‎4．给分或扣分均以1分为单位．‎ 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1． ； 2. ；‎ ‎3． ； 4． ；‎ ‎5． ； 6． ；‎ ‎7． ； 8.；‎ ‎9. ； 10． ；‎ ‎11． ； 12. ；‎ ‎13. ； 14. .‎ 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15. ；16. ； 17． ；18. .‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.‎ ‎19. 解:（1）由题意，，，得………… 1分 ‎，所以异面直线和所成角即为和所成角 ………… 3分 长方体中，，面，‎ ‎，故可得为锐角且…………………… 6分 ‎（2）由题意，，， ‎ ‎，，即 ……………………………… 8分 又由面可得 ………………………………………… 10分 ‎ 故平面. ………………………………………………………………12分 ‎（说明：建立空间直角坐标系的相应给分）‎ ‎20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.‎ 解：（1）由题设可知，， …………………… 2分 又，所以， …………………… 4分 从而， ‎ 再由题设知时，代入，得，从而， …………………… 6分 因此，. …………………… 8分 ‎（2）要使点距离地面超过米，则有，……… 8分 即 ，又解得，‎ 即 …………………… 10分 所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟.…… 14分 ‎ [来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. ‎ 第21题图 ‎ 解（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，‎ 得，即，则双曲线的左、右顶点为、，于是…………………… 2分 令，可得，解得，即双曲线过点，则所以，…………… 4分 所以所求双曲线方程为……………………6分 ‎（2）由（1）得双曲线的两个焦点，…………………… 7分 当时，设点，‎ ‎①若点在双曲线上，得，‎ 由，得由，解得所以…… 11分 ‎②若点在上半圆上，则，由，‎ 得，由无解…………………… 13分 综上，满足条件的点有4个，分别为 ‎…………………… 14分 ‎22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.‎ 解（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题设可得 因为数列是公差不为0的等差数列，所以，即 ‎……………………………………………4分 ‎（2）‎ ‎，‎ ‎ 即点，在同一条直线上。‎ ‎……………………………………………8分 ‎（3） ，…………………………………9分 令，，随着的增大而增大…………………………………10分 当为奇数时，在奇数集上单调递减，，‎ ‎…………………………………………12分 当为偶数时，在偶数集上单调递增，，‎ ‎…………………………………………14分 ‎，，，‎ 即的最小值是……………………………………………16分 ‎23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. ‎ 解：（1）解：‎ ‎ …………………………………………1分 是偶函数………………………………………………………………2分 在区间和上单调递增，在区间和上单调递减………3分 的最大值是，无最小值，值域为…………………………………………4分 ‎（说明：在端点和处可开可闭，在处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能用“”连接；写对值域给分）‎ ‎（作图如下：）‎ ‎…………………………6分 ‎（2）因为关于的不等式恒成立，令，则 ‎…………………7分 即不等式上恒成立…………………………………………8分 当时， ………………………………………………………9分 ‎ …………………………………………………………………………10分 又 ……………………………………………………11分 ‎……………………………………………………………………………………12分 ‎（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解即有6个不同的解，…………………………………………13分 数形结合可知必有和， ………………………………14分 令，则关于的方程有一根为2，另一根在间 ‎…………………………………………………………………………………………15分 ‎…………………………………………………18分