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高中数学选修2-3第一章综合能力测试（带解析人教版）‎ ‎（计数原理）‎ 时间120分钟，满分150分．‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有(　　)‎ A．24种　　　 B．18种　　　‎ C．12种　　　 D．6种 ‎[答案]　B ‎[解析]　因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有CA＝18种．故选B.‎ ‎2．已知C－C＝C(n∈N*)，则n等于(　　)‎ A．14　　 　 B．‎12　　 ‎　 ‎ C．13　　 　 D．15‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　因为C＋C＝C，所以C＝C.‎ ‎∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A.‎ ‎3．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是(　　)‎ A．8 B．12 ‎ C．16 D．24‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵A＝n(n－1)＝132.∴n＝12.故选B.‎ ‎4．(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)‎ A．42 B．35 ‎ C．28 D．21‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，T3＝Cx2，∴x2的系数为C＝21.‎ ‎5．一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3 ‎ C．(3！)4 D．9!‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．‎ ‎6．(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－720 B．720 ‎ C．120 D．－120‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查了二项式展开定理，要认清项的系数与二项式系数的区别C(－x)3＝－Cx3，故选D.‎ ‎7．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝(　　)‎ A．9 B．10 ‎ C．－9 D．－10‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　x10的系数为a10，∴a10＝1，‎ x9的系数为a9＋C·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10.‎ 故应选D.‎ ‎8．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 ‎ C．9种 D．8种 ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查了组合及分步计数原理的运用．‎ 分两步进行：第一步，先派一名教师到甲地，另一名教师去乙地，共有C种选法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名学生到乙地，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有不同选派方案CC＝12种．‎ ‎9．在24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有(　　)‎ A．3项 B．4项 ‎ C．5项 D．6项 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵Tr＋1＝C()24－r·x－＝Cx12－r，r∈{0,1,2,3，…，24}，‎ ‎∴r∈{0,6,12,18,24}时，x的幂的指数是整数，共有5项．‎ 故应选C.‎ ‎10．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 ‎ C．36种 D．54种 ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意不同的放法共有CC＝18种．‎ ‎11．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)‎ A．70种 B．80种 ‎ C．100种 D．140种 ‎[答案]　A ‎[解析]　考查排列组合有关知识．‎ 解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，‎ ‎∴共有C·C＋C·C＝70.故选A.‎ ‎12．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A．24对 B．30对 ‎ C．48对 D．60对 ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．‎ 如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B‎1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有×96＝48对．‎ 解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C－6－12＝48对．‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________．‎ ‎[答案]　24种 ‎[解析]　将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CA＋CA种方案．因此满足条件的不同方案共有CA－CA－CA＝24(种)．‎ ‎14.6的展开式中的第四项是________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　展开式中第四项为C·23·3＝－.‎ ‎15．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．‎ ‎[答案]　264‎ ‎[解析]　由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，有A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如 甲 乙 丙 丁 上午 台阶 身高 立定 肺活量 下午 下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9，‎ 故A(2＋9)＝264种．‎ ‎16．已知6的展开式中x8的系数小于120，则k＝____________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　x8的系数为Ck4＝15k4，‎ 由已知得，15k4＜120，∴k4＜8，‎ 又k∈N＋，∴k＝1.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分12分)用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？‎ ‎[解析]　解法1：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有A 种方法；再从余下的5个数字中选4个放在其他数位，有A种方法．由分步乘法计数原理，所求五位数有AA＝600(个)．‎ 解法2：不含有数字5的五位数有A个；含有数字5的五位数，末位不选5有A种方法，其余数位有A种选法，含有5的五位数有AA个．因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有A＋AA＝600(个)．‎ 解法3：由1～6组成的无重复数字的五位数有A个，其中能被5整除的有A个．因此，所求的五位数共有A－A＝720－120＝600(个)．‎ ‎18．(本题满分12分)从－1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数．‎ ‎(1)开口向上的抛物线有多少条？‎ ‎(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？‎ ‎[解析]　(1)要使抛物线的开口向上，必须a＞0，‎ ‎∴C·A＝36(条)．‎ ‎(2)开口向上且不过原点的抛物线，必须a＞0，c≠0，‎ ‎∴C·C·C＝27(条)．‎ ‎19．(本题满分12分)求(－)9的展开式中的有理项．‎ ‎[解析]　∵Tr＋1＝C·(x)9－r·(－x)r＝(－1)r·C·x，‎ 令∈Z，即4＋∈Z，且r∈{0,1,2，…，9}．‎ ‎∴r＝3或r＝9.‎ 当r＝3时，＝4，T4＝(－1)3·C·x4＝－84x4；‎ 当r＝9时，＝3，T10＝(－1)9·C·x3＝－x3.‎ ‎∴(－)9的展开式中的有理项是：第4项，－84x4和第10项，－x3.‎ ‎20．(本题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．‎ ‎(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？‎ ‎[解析]　从O型血的人中选1人有28种不同的选法．从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．‎ ‎(1)任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”‎ 的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．‎ ‎(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．‎ ‎21．(本题满分12分)已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项．‎ ‎[解析]　令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n，‎ 又展开式二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，‎ 由题意有4n－2n＝992.‎ 即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0，‎ 所以n＝5.‎ ‎(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，‎ 它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.‎ T4＝C()2(3x2)3＝270x.‎ ‎(2)设展开式中第k＋1项的系数最大．‎ 又Tk＋1＝C()5－k·(3x2)k＝C3kx，‎ 得⇒ ‎⇒≤k≤.‎ 又因为k∈Z，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大．T5＝C34x＝405x.‎ ‎22．(本题满分14分)已知(1＋2)n展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的，试求该展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎[解析]　Tr＋1＝C(2)r＝2r·C·x，‎ 它的前一项的系数为2r－1·C，‎ 它的后一项的系数为2r＋1·C，‎ 根据题意有 ∴ ‎∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项．‎ T4＝C(2)3＝280x，T5＝C(2)4＝560x2.‎