2014-2015南通市高三数学一模试卷(有答案)
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资料简介
‎2014-2015南通市高三数学一模试卷(有答案)‎ 试题Ⅰ 注 意 事 项 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:‎ ‎1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。‎ ‎5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 已知集合,,,则 ▲ .‎ ‎2. 若(其中表示复数z的共轭复数),则复数z的模为 ▲ .‎ ‎3. 已知函数在处的导数为,则实数的值是 ▲ .‎ ‎4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》‎ ‎(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量:“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml;‎ ‎“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据:‎ 根据此数据,可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ .‎ ‎5. 要得到函数的函数图象,可将函数的图象向右至少平移 ▲ 个单位.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,“直线,与曲线相切”的充要条件是 ‎“ ▲ ”.‎ 开始 结束 ‎(第7题)‎ ‎7. 如图,表示第i个学生的学号,表示第i个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337,则打印出的第5组数据是 ▲ .‎ ‎8. 在△ABC中,若,则 ▲ .‎ ‎9. 已知是上的奇函数,且时,,则不等 ‎ 式的解集为 ▲ .‎ ‎10.设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为 ▲ .‎ ‎11.已知平面向量,,满足,,,的夹角等 于,且,则的取值范围是 ▲ .‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,过点、分别作x 轴的垂线与抛物线分别交于点,直线与 x轴交于点,这样就称 确定了.同样,可由确定,…,若,,则 ▲ .‎ ‎13.定义:{x,y}为实数x,y中较小的数.已知,其中a,b 均为正实数,则h的最大值是 ▲ .‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数的值为 ▲ .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ‎ 明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 已知函数. ‎ ‎(1)求的最小正周期和值域;‎ ‎(2)若为的一个零点,求的值.‎ ‎16.(本题满分14分)‎ ‎ 如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为,且 ‎(第16题)‎ D A B C ‎().‎ ‎(1)若,求二面角C—BD—的大小;‎ ‎(2)当变化时,线段上是否总存在一点 E,使得A//平面BED?请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎17.(本题满分15分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,设A、B是双曲线上的两点,是线段AB的中点,‎ 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点.‎ ‎(1)求直线AB与CD的方程;‎ ‎(2)判断A、B、C、D四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理由.‎ ‎18.(本题满分15分)‎ ‎ 某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师,为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务,需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作,一组完成269捆文科卷,另一组完成475捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成,理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成.(假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同,每捆卷的份数也相同)‎ ‎(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省?‎ ‎(2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成,在按(1)分配的人数阅卷4天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后第3位)‎ ‎ (参考数据:,,,)‎ ‎ ‎ ‎19.(本题满分16分)‎ ‎ 已知函数的导函数是二次函数,且的两根为.若的极大值与极小值 ‎ 之和为0,.‎ ‎ (1)求函数的解析式;‎ ‎ (2)若函数在开区间上存在最大值与最小值,求实数的取值范围.‎ ‎(3)设函数,正实数a,b,c满足,证明:.‎ ‎20.(本题满分16分)‎ ‎ 设首项为1的正项数列的前n项和为,数列的前n项和为,且,‎ 其中为常数. ‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求证:数列为等比数列;‎ ‎(3)证明:“数列,,成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“, ‎ ‎ 且”.‎ 试题Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若 ‎ 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ D A B C E O ‎·‎ ‎(第21—A题)‎ A.(几何证明选讲)‎ 如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切 半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的 中点,求BC的长.‎ ‎ ‎ B.(矩阵与变换)‎ 已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为,求实数、的值.‎ ‎ ‎ C.(极坐标与参数方程)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知点在曲线(为参数,为正常数),求的 值.‎ ‎ ‎ D.(不等式选讲)‎ ‎ 设均为正数,且,求证:‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ‎ 字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.已知函数,,求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎23.(1)已知,且,求证:;‎ ‎(2)设数列,,,…满足,(i1,2,3,…).‎ 证明:对任意的正整数n,是 关于的一次式.‎ 南通市数学一模试卷 参考答案 ‎1. ; 2. 3; 3. 2; ‎4. 0.09‎; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;‎ ‎9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 3.‎ 答案解析 ‎1.易得,则;‎ ‎2. ;‎ ‎3. 易得,则,即;‎ ‎4. “饮酒驾车” 发生的频率等于;‎ ‎5. 将向右至少平移个单位得;‎ ‎6. 易得,且,即;‎ ‎7. 打印出的第5组数据是学号为8号,且成绩为361,故结果是;‎ ‎8. 设,则,,且,利用 可 ‎ 求得,所以;‎ ‎9. 易得,,故所求解集为;‎ ‎10. 法1 设正四棱锥的底面边长为,则体积,记,‎ ‎ ,利用导数可求得当时,,此时;‎ 法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为,则, ‎ ‎(第11题图)‎ ‎ ,记,利用导数可求得当时,,此时;‎ ‎15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解 ‎ 能力.‎ ‎(1)易得 ‎ =,(5分)‎ ‎ 所以周期,值域为;(7分)‎ ‎(2)由得,(9分)‎ ‎ 又由得 ‎ 所以故,(11分)‎ ‎ 此时,‎ ‎ .(14分)‎ ‎16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论证能力.‎ ‎(第16题图)‎ D A B C O E 解:(1)连结,交于点,连结,‎ ‎ 菱形ABCD中,,‎ ‎ 因三角形BCD沿BD折起,所以,‎ ‎ 故为二面角C—BD—的平面角,(5分)‎ ‎ 易得,而,‎ ‎ 所以,二面角C—BD—的大小为;(7分)‎ ‎ (2)当变化时,线段的中点E总满足A//平面BED,下证之:(9分)‎ ‎ 因为E,O分别为线段,AC的中点, 所以,(11分)‎ ‎ 又平面BED,平面BED, 所以A//平面BED. (14分)‎ ‎17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力.‎ 解:(1)设A,则, 代入双曲线得 ‎ 解得或 即的坐标为、,‎ ‎ 所以:,:;(7分)‎ ‎ (2)A、B、C、D四点共圆,下证之:(9分)‎ ‎ 证明:由与联立方程组可得 ‎ 的坐标为、,(11分)‎ ‎ 由三点A、B、C可先确定一个圆①,(13分)‎ ‎ 经检验适合①式,所以A、B、C、D四点共圆.(15分)‎ ‎ (注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆)‎ ‎18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.‎ ‎ 解:(1)设文科阅卷人数为,且,‎ ‎ 则阅卷时间为(5分)‎ ‎ 而故,‎ ‎ 答:当文、理科阅卷人数分别是119,281时,全省阅卷时间最省;(8分)‎ ‎ (2)文科阅卷时间为:,(11分)‎ ‎ 理科阅卷时间为:,(14分)‎ ‎ 答:全省阅卷时间最短为天.(15分)‎ ‎19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运用数形 ‎ 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力.‎ ‎(第19题图)‎ ‎ 解:(1)设,‎ ‎ 则可设,其中为常数.‎ ‎ 因为的极大值与极小值之和为0,‎ ‎ 所以,即,‎ ‎ 由得,‎ ‎ 所以;(5分)‎ ‎ (2)由(1)得,且 ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 列表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图),(7分)‎ ‎ 又,故, 所以,且, ‎ ‎ 解得;(10分)‎ ‎ (3)题设等价与,且a,b,c0,‎ ‎ 所以a,b,c均小于.‎ ‎ 假设在a,b,c中有两个不等,不妨设ab,则ab或ab.‎ ‎ 若ab,则由得即,‎ ‎ 又由得ca.‎ ‎ 于是abca,出现矛盾.‎ ‎ 同理,若ab,也必出现出矛盾.‎ ‎ 故假设不成立,所以.(16分)‎ ‎20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考查灵活 ‎ 运用基本量进行探索求解、推理分析能力.‎ 解:(1)n = 1时,由得p = 0或2,(2分)‎ ‎ 若p = 0时,,‎ ‎ 当时,,解得或,‎ ‎ 而,所以p = 0不符合题意,故p = 2;(5分)‎ ‎ (2)当p = 2时, ①,则②,‎ ‎ ②①并化简得 ③,则 ④,‎ ‎ ④③得(),又易得,‎ ‎ 所以数列{an}是等比数列,且;(10分)‎ ‎ (3)充分性:若x = 1,y = 2,由知,,依次为,,,‎ ‎ 满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;(12分)‎ ‎ 必要性:假设,,成等差数列,其中x、y均为整数,又 ‎,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 化简得 ‎ 显然,设,‎ ‎ 因为x、y均为整数,所以当时,或,‎ 故当,且当,且时上式成立,即证. (16分) ‎ ‎21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力.‎ 解:连接OD,则OD⊥DC,‎ 在Rt△OED中,OBOD,‎ 所以∠ODE30°,(5分)‎ 在Rt△ODC中,∠DCO30°,由DC2得ODDCtan30°,‎ 所以BC.(10分) ‎ B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.‎ 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=,(5分)‎ ‎ 所以解得.(10分)‎ C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力.‎ 解:由(为参数,为正常数),消去参数得,(8分)‎ ‎ 将点代入得.(10分)‎ D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.‎ 证明:因为a1,a2,a3均为正数,且,‎ 所以,(8分)‎ ‎ 当且仅当时等号成立,‎ ‎ 所以.(10分)‎ ‎22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力.‎ 证明:由得,(2分)‎ 令,则,‎ 当时,,在上为增函数;‎ 当x>0时,,在上为减函数,‎ 所以在x=0处取得极大值,且,(6分)‎ 故(当且仅当时取等号),‎ 所以函数为上的减函数,(8分)‎ 则,即的最大值为0.(10分)‎ ‎23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力.‎ ‎ (1)证明:左边,‎ ‎ 右边,‎ ‎ 所以;(3分)‎ ‎ (2)证明:由题意得数列,,,…为等差数列,且公差为.(5分)‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 所以对任意的正整数n,是关于的一次式.(10分)‎

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