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大庆市2015届高三数学二模检测试题（理科含答案）‎ 数 学（理科）‎ ‎201501‎ 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）的共轭复数为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）已知，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）执行如图所示的程序框图，输出的 ‎ （A）29 （B）44 （C）52 （D）62‎ ‎（6）下列说法不正确的是 ‎ （A）命题”若，则” 的否命题是假命题 ‎（B）命题“，”的否定是“，”‎ ‎ （C）“”是“为偶函数”的充要条件 ‎ （D）时，幂函数在上单调递减 ‎（7）已知某线性规划问题的约束条件是，则下列目标函数中，在点处取得最小值是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则 ‎ （A）29 （B）31 （C）33 （D）36‎ ‎（9）函数的图像大致为 ‎（10）已知函数，若，则零点所在区间为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）如图，已知椭圆的中心为原点,为的左焦点，为上一点，满足，则椭圆的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）设函数的最小值记为，则函数的单调递增区间为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎（13）_______．‎ ‎（14设两个非零向量与，满足，，则向量与的夹角等于_______．‎ ‎（15）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_______．‎ ‎（16）若实数满足方程（是自然对数的底），则_______．‎ 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎（18）在中，内角、、所对的边分别为，，，，且．‎ ‎（1）求角的值； ‎ ‎（2）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围．‎ ‎（19）如图，平面,四边形底面为矩形， ，为的中点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值 ‎（20）抛物线准线过椭圆的左焦点，以原点为圆心，以为半径的圆分别与抛物线在第一象限的图像以及轴的正半轴相交于点，直线与轴相交于点 ‎(1)求抛物线的方程 ‎(2)设点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线上点的横坐标为，求直线的斜率 ‎（21）已知函数．‎ ‎（1）当 时，求函数的极值 ‎（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围 请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，为圆的内接三角形，，为圆的弦，且，过点作圆的切线与的延长线交于点，与交于点．‎ ‎（1）求证：四边形为平行四边形；‎ ‎（2）若，，求线段的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A A C D B A C B B 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三．解答题（本题共6大题，共70分）‎ ‎17（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由等差数列满足知，，所以. ①‎ 因为成等比数列，所以，整理得，‎ 又因为数列公差不为，所以. ② ……………………2分 联立①②解得. ……………………4分 所以. ……………………6分 ‎（Ⅱ）因为，所以， ……………………8分 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ……………………10分 由等比数列前项和公式得，. ……………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（I）因为，由余弦定理知,所以，…1分 又因为，则由正弦定理得 ‎， ……………………2分 所以， ……………………4分 因为， ……………………5分 所以. ……………………6分 ‎（Ⅱ）， ……………………8分 由已知， ……………………9分 则 ‎ 因为，，‎ 所以，整理得.‎ 因为，所以，所以. ……………………10分 ‎① ，‎ ‎② ，‎ 故的取值范围是 ‎. ……………………12分 ‎19（本小题满分12分）‎ ‎（I）证明：连接，因为，是的中点，故.‎ ‎ 又因为平面平面，面面，面，‎ 故平面. ‎ ‎ 因为面，于是. ……………………2分 又，，所以平面，所以. ……………………4分 ‎ 又因为，，故平面， ……………………5分 所以. ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）得，，不妨设，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。因为，所以，，于是有，从而，，设平面的法向量，由 得得， …………………………9分 同理，可求得平面的一个法向量，设的夹角为，‎ 则， …………………………11分 由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. …………………………12分 ‎20（本小题满分12分）‎ 解：（I）因为椭圆的左焦点为，所以，可得，‎ 故抛物线方程为. …………………………4分 ‎（II） 由题意知，，因为，所以，‎ 由于，故有 ① …………………………6分 由点的坐标知，直线的方程为，‎ 又因为点在直线上，故有， …………………………8分 将①代入上式，得，‎ 解得， …………………………10分 又因为或，‎ 所以直线的斜率 或. ………………12分 ‎21（本小题满分12分）‎ ‎（I）当时，，则，‎ 整理得， …………………………1分 令得，，‎ 当变化时，变化如下表：‎ 极大值 极小值 ‎…………………………3分 计算得，，‎ 所以函数在处取到极大值，在处取到极小值. ………………………4分 ‎（II）由题意，‎ ‎（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为. ………………………6分 ‎（2）当时，令，有，，‎ ‎ （i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意. ………………………7分 ‎ （ii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值且，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. ………………………9分 ‎ ‎（iii）当即时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数 的最大值为，需，‎ 代入化简得 ‎ 令，因为恒成立，‎ 故恒有，所以时，恒成立， ‎ 综上，实数的取值范围是. ………………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）因为与圆相切于点，所以．‎ 因为，所以，所以，‎ 所以． ……………………… 3分 因为，所以四边形为平行四边形． ……………………… 5分 ‎（Ⅱ）因为与圆相切于点，所以，‎ 即，解得， ………………………7分 根据（Ⅰ）有，‎ 设，由，得，即，解得，即.…10分 ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）曲线可化为， ………………………2分 其轨迹为椭圆，焦点为. ………………………3分 ‎ 经过和的直线方程为,即 ‎. ………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，‎ 所以的参数方程为 （为参数）， ………………………7分 代入椭圆的方程中，得. ………………………8分 因为在点的两侧，所以. ………………………10分 ‎（24）（本小题满分10分）‎ ‎ （Ⅰ）因为，所以，所以，……………3分 ‎ 由题意知 ，所以. ………………………5分 ‎ （Ⅱ）因为图象总在图象上方，所以恒成立，‎ 即恒成立， ………………………7分 ‎ 因为，当且仅当时等式成立，…9分 ‎ 所以的取值范围是. ………………………10分