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广州市2014-2015学年高一数学上学期期末试卷（含答案）‎ ‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. ‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4．本次考试不允许使用计算器.‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式,球的体积公式，其中为球的半径.‎ 第一部分 选择题（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 若全集，则是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.与直线平行的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（　　）‎ ‎　‎ ‎10‎ B．‎ C．‎ ‎38‎ A．‎ D．‎ ‎5. 函数的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8π B．‎ ‎6π C．‎ D．‎ ‎7. 圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 ‎ ‎8. 函数在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 圆在点P(1，)处的切线方程是 ( )‎ A． 　　B．‎ C． 　　D. ‎ ‎10. 已知 下列命题正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A. ‎ ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③‎ 第二部分 非选择题（共100分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎11. 计算 ‎ ‎12．已知点, 则直线AB的倾斜角是 ‎ ‎13. 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 ‎ ‎14. 定义在R上的偶函数在上递减，且，则满足的x的取值范围 ‎ 三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分12分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判定的奇偶性,并说明理由；‎ ‎（3）令函数，且，求的值．‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知在平面直角坐标系中，直线AB的方程为，直线AC的方程为，直线BC的方程为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当的BC边上的高为1时，求m的值．‎ ‎ 17.（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：‎ ‎（1）直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：‎ 月份 用气量（立方米）‎ 支付费用（元）‎ 一 ‎4‎ ‎8‎ 二 ‎20‎ ‎38‎ 三 ‎26‎ ‎50‎ 该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y元．求y关于x的函数解析式．‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知圆C的半径为3，圆心C在直线上且在轴的下方，轴被圆C截得的弦长BD为.‎ ‎（1）求圆C的方程;‎ ‎（2）若圆E与圆C关于直线对称，为圆上的动点， 求的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（1）若函数的图像经过点,求m的值；‎ ‎（2）试判断函数的单调性,并予以说明;‎ ‎（3）试确定函数的零点个数．‎ 参考答案 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C A D A D D A B B C 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.‎ ‎11. 1 12. 13. 3 14. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，所以， -------------1分 ‎ 所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ----------3分 ‎（2）由（1）得 ，所以 的定义域为 ----------------4分 ‎ -----------------5分 所以 ----------------6分 ‎ 所以为偶函数． ---------------7分 ‎（3）因为， 所以 ---------8分 所以 ----------9分 ‎ 因为为偶函数 ‎ 所以 ----------11分 所以． ---------12分 ‎16.（本小题满分12分）‎ 解：（1）直线AB的斜率为， ---------2分 直线AC的斜率为， ---------4分 所以kAB•kAC=﹣1， ---------5分 所以直线AB与AC互相垂直， --------- 6分 因此，为直角三角形；‎ ‎（2）解方程组，得，即A（2，6） --------8分 设点A到直线BC的距离为，， -------10分 依题意有当=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35． ------12分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 证明：（1）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE∥PA， ----2分 又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以PA∥平面DEF； -----4分 ‎（2）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE=PA=3； ------5分 又因为E、F为AC、AB的中点，所以EF=BC=4； -----6分 又DF=5‎ 所以DE2+EF2=DF2， ------8分 所以∠DEF=90°，‎ 所以DE⊥EF； -------9分 因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC； -------10分 因为AC∩EF=E，所以DE⊥平面ABC； --------12分 因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC． ----------14分 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：根据题意， ------2分 因为0＜c≤5，所以6+c≤11．‎ 由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，‎ 于是有 ------6分 解得b=2，‎2a=8+c．（3） -------8分 因为0＜c≤5，所以． ---------10分 所以6+c=8，c=2． ---------12分 因此，a=5，b=2，c=2．‎ 所以， -------------14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（1）设圆心坐标，则圆方程为 ---------1分 作于点A，在,- --------2分 所以 --------3分 所以 ---------4分 又因为点C在轴的下方，所以 - --------5分 所以圆C的方程为： --------6分 ‎（2）方法一：由（1）知，圆C的圆心坐标为 点到直线 的距离为， --------8分 因为圆E与圆C关于直线对称， ‎ 所以 圆E的半径为3 -------10分 因为为圆上的动点，所以 -------11分 因为 所以的最大值为， -------12分 的最小值为 --------13分 ‎ 所以的取值范围为 --------14分 方法二：由（1）知，圆C的圆心坐标为设圆心E，‎ 由题意可知点E与点C关于直线对称，‎ 所以有 - ------9分 所以点E 且圆E的半径为3 ‎ 所以， -------10分 因为为圆上的动点，所以 -------11分 因为 所以的最大值为， -------12分 的最小值为 --------13分 ‎ 所以的取值范围为 --------14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为函数的图像经过点 所以 -------1分 所以 -------2分 ‎（2）因为函数的定义域为 ，设 -------3分 所以 ， ， -------4分 所以 ‎ 因为， 所以 ，所以 --------5分 所以 --------6分 所以 在定义域上单调递增． --------7分 ‎（3）函数的零点只有一个 ‎① 当时， ‎ ‎ --------8分 且函数在上的图象是连续不间断曲线 所以由零点定理可得 函数在上存在一个零点， --------9分 又由（2）得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个． --------10分 ‎② 当时，，又由（2）得在定义域上单调递增，‎ 所以函数的零点只有一个． --------11分 方法一：‎ ‎③ 当时，设 ‎ 则 ‎ -----12分 因为，所以，‎ 所以 ，即 -------13分 且函数在上的图象是连续不间断曲线 所以由零点定理可得 函数在上存在一个零点， ‎ 又由（2）得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个． --------14分 方法二：‎ ‎③ 当时，设 ‎ 则，‎ 且函数在上的图象是连续不间断曲线 所以存在使得，即 ----------12分 从而有 -----------13分 且函数在上的图象是连续不间断曲线 又由（2）得在定义域上单调递增，‎ 所以当时，函数的零点只有一个． --------14分