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邯郸市2015届高三数学1月质检试卷（理科带答案）‎ 一．选择题 1. 已知集合则 A． B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位，则复数的虚部是 A. 0 B. C. D. 1‎ ‎3. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为，则它的离心率为 A. B. C. D. ‎4设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的 ‎ A.充分不必要条件　　　 　　B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　　 　　 　　D.既不充分也不必要条件 ‎5. 执行如右图所示的程序框图,若输出的值为16，那么输入的值等于 A.5 B‎.6 C.7 D.8‎ ‎6. 已知在平面直角坐标系上的区域由 不等式组给定．若为上的动点，点 的坐标为，则的最大值为 ‎ A．　　B．　　 C．　　　　D．‎ P A B C D ‎7. 如图，在底面边长为的正方形的四棱锥中，已知，且，则直线与平面所成的角的余弦值为 ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知，A是由曲线与围成的封闭区域，若向上随机投一点，则点落入区域A的概率为 A. B. C. D.‎ ‎9.下列三个数：，大小顺序正确的是 A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 正视图图 侧视图 俯视图 ‎3‎ ‎ 10 9 8 2‎ ‎11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.10 B‎.20 C.40 D.60‎ ‎12. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时，‎ ‎ 若关于的方程 ‎（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题 ‎13. 如图，正六边形的边长为，‎ 则______；‎ ‎14. 已知，，则的最小值为 ；‎ ‎15. 已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为 ；‎ ‎16. 如图，在中，,D是AC上一点，E是BC上一点，若.,,则BC= .‎ C E D A B 三．解答题 ‎17. (本小题满分10分)等差数列中，，公差且成等比数列，前项的和为.‎ （1） 求及;‎ （2） 设，，求.‎ ‎18. (本小题满分12分)已知 ‎(1)求函数的最小正周期及在区间的最大值;‎ ‎(2) 在中, 所对的边分别是，，‎ 求周长的最大值. ‎ ‎19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC = 45o，AD = AC = 1，PO=a ‎ ‎(1)证明：DA⊥平面PAC； ‎ ‎(2)如果二面角M−AC−D的正切值为2，求a的值.‎ ‎20. (本小题满分12分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）根据直方图求的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有户月用电量超过300度，求的分布列及期望.‎ 21. ‎ (本小题满分12分)已知椭圆C:过点，离心率为 ‎，点分别为其左右焦点.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程;‎ ‎（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点 满足，三点共线，三点共线，且.‎ 求四边形面积的最小值.‎ ‎22(本小题满分12分)己知函数 ‎ ‎(1)讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎(2)设，若对任意不相等的正数，恒有，求a的取值范围.‎ ‎2015届高三质检考试 ‎ 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1—5 CDABC 6—10 CDDAA 11—12 BC 二、 填空题 ‎13.，14.，15.，16.‎ 三．解答题 ‎17. 解：（1）有题意可得又因为 ………… 2分 ‎ ………………… 4分 ‎（2） ………6分 ‎ ………………10分 ‎18.解：‎ ‎(1)‎ ‎， ………2分 最小正周期为 ………4分 所以在区间的最大值是0. ………6分 ‎(2) , ………8分 由余弦定理得, ‎ 即,当且仅当时取等号.‎ 的周长的最大值是6. ……………12分 法二：由，得，由正弦定理可得，‎ ‎ ………8分 所以，当时，L取最大值，且最大值为6 ………12分 ‎19.(1)证明：由题意，∠ADC = 45o，AD = AC = 1,故∠DAC = 90o 即DA⊥AC.又因为 PO⊥平面ABCD,‎ 所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC ……………4分 ‎（2）法一：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角.…………8分 因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以，而，故，PO=‎2MG=2. ……………12分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 ‎,，，，‎ 设平面MAC的法向量为，，，则，所以的一个取值为 ‎ ……………10分 平面ACD的法向量为.‎ 设二面角的平面角为，‎ 因为，所以 a=2 ……………12分 ‎ ‎20. ‎ ‎（1）解:由已知得 ‎ ……………2分 设该小区100户居民的月均用电量为S 则 ‎9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186………6分 ‎（2）该小区用电量在的用户数为，‎ 用电量在的用户数为 时，，时，,‎ 时，,时，………10分 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎=1‎ ‎……………12分 ‎ 21.解：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为. ……………4分 ‎（2）当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得；‎ 令，，.‎ ‎，……………6分 ‎，直线PQ的方程为：‎ 将直线与椭圆联立得，‎ 令,，；‎ ‎，……………8分 四边形面积S=，‎ 令，上式 ‎=‎ 所以.最小值为 ……………12分 ‎22.解：(1)的定义域为.‎ 当时，，故在单调递增 当时，，故在单调递减；‎ 当时，令，解得 即时，；时，；‎ 故在单调递增，在单调递减；…6分 ‎（2）不妨设，而，由（1）知在单调递减，从而对任意，恒有 ‎ ……………8分 令，则 原不等式等价于在单调递减，即，从而 ‎，‎ 故的取值范围为 …………….12分 另解： 设，‎ 则 当，。‎ ‎∴ ∴‎ ‎（如果考生将视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）‎