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东莞市2014-2015高二理科数学上学期期末检测（人教版有答案）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎2、若，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3、在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、已知等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，焦距为，则它的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、已知等差数列，，，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C． ‎ D．‎ ‎8、设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、如右图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10、当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎11、已知向量，，，若，则 ．‎ ‎12、不等式组表示的平面区域的面积是 ．‎ ‎13、已知等差数列，，公差，若，，成等比数列，则 ．‎ ‎14、已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．（用区间表示）‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15、（本小题满分12分）在中，，，分别是角，，的对边，‎ 且．‎ 求的面积；‎ 若，求角．‎ ‎16、（本小题满分12分）设命题实数满足，其中，命题实数满足．‎ 若，且为真，求实数的取值范围；‎ 若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎17、（本小题满分14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？‎ ‎18、（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．‎ 求证：平面；‎ 若平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．‎ ‎19、（本小题满分14分）已知为数列的前项和，且有，（）．‎ 求数列的通项公式；‎ 若数列满足，其前项和为，求证：．‎ ‎20、（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，且椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．‎ 求椭圆的方程；‎ 求的值；‎ 求的最小值．‎ 东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学（B卷）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C B A C C D A B B D 二、填空题 ‎11. 12. 13．　　　１４．‎ 三、解答题 ‎15.解：（1）∵，‎ ‎∴，又，…………………………………3分 ‎∴.……………………………………6分 ‎（2）由，a=7，‎ 得c=5，…………………………………………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴，…………………………………………………………………9分 ‎∴……………………………10分 又…………………………………………………………………11分 ‎∴.……………………………………………………………………12分 ‎16. 解：(1)由得.……………………1分 当时，，即为真命题时，实数的取值范围是……3分 由得.‎ 所以为真时实数的取值范围是.…………………………5分 若为真，则，所以实数的取值范围是．……6分 ‎(2) 设，………………………8分 是的充分不必要条件，则…………………………………10分 所以，所以实数的取值范围是．………12分 ‎17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则……1分 ‎………① …………5分 目标函数为， ……………6分 不等式组①等价于 可行域如图所示，……………………………9分 当目标函数对应的直线经过点M时，‎ 目标函数取最小值. ……………………………………………………10分 解方程组 得M的坐标 ，，……………………………………12分 所以.………………………………13分 答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元. ‎ ‎………………………………………………………………………………14分 ‎18. 解：（1）连接 为四棱柱， ‎ 又为的中点，‎ ‎,‎ ‎,‎ 为平行四边形 ‎………………4分 又 ‎ ‎………………6分 ‎（2）方法一： ‎ ‎ 作,连接 则即为所求二面角………………8分 在中， ‎ 在中，, ‎ ‎………………14分 方法二：作于点 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ 显然平面的法向量为 显然二面角为锐角，‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为………………14分 ‎19. 解：(1)当时，； ……1分 ‎ 当时，‎ ‎，‎ 两式相减得，， ……2分 又，……３分 所以是首项为,公比为2的等比数列，……4分 所以. ……6分 ‎ ‎(2)由(1)知，所以，……７分 所以 ‎，…８分 两式相减得，‎ 所以(或写成或…１０分 ‎…１１分 是递增的，又 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　…１４分 ‎20．解：（1）法一：‎ 由椭圆的定义可知 ‎ ‎ ‎ ……1分 由得……2分 故椭圆的方程是； ……3分 法二：‎ 由已知得，‎ ‎，……1分 得，……2分 故椭圆的方程是； ……3分 ‎（2）椭圆的右焦点为，分两种情况讨论如下： ‎ ‎1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则 CD:．此时，,‎ ‎； ……5分 ‎2°当直线AB的斜率存在时，设AB : ，则 CD：．‎ 又设点．‎ 联立方程组 消去并化简得， ‎ 所以 ‎，‎ ‎ ……7分 ‎ ……8分 ‎ 由题知，直线的斜率为，同理可得 ……9分 所以为定值. ……10分 ‎ (3)解：由（II）知， ‎ 所以 ……11分 ‎， ……12分 当且仅当，即，即时取等号 …13分 所以的最小值为. ……14分