由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
压轴大题突破练
1.导 数
1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f(x)＝ex－ax2－2ax－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；
(2)当x＞0时，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2－2x－1，f(－1)＝，
所以切点坐标为，f′(x)＝ex－2x－2，
所以f′(－1)＝，
故曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－＝，即y＝x＋.
(2)f(x)＝ex－ax2－2ax－1求导得f′(x)＝ex－2ax－2a，
令g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－2a，则g′(x)＝ex－2a(x＞0).
①当2a≤1，即a≤时，g′(x)＝ex－2a＞1－2a≥0，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－2a在(0，＋∞)上为增函数，
g(x)＞g(0)＝1－2a≥0，
即g(x)＝f′(x)≥0，所以f(x)＝ex－ax2－2ax－1在(0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)＞f(0)＝1－0－0－1＝0，故a≤时符合题意.
②当2a＞1，即a＞时，令g′(x)＝ex－2a＝0，得x＝ln 2a＞0，
x
(0，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减函数
极小值
增函数
当x∈(0，ln 2a)时，g(x)＜g(0)＝1－2a＜0，即f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，ln 2a)上为减函数，所以f(x)＜f(0)＝0，与条件矛盾，故舍去.
综上，a的取值范围是.
2.(2017·广东惠州调研)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R).
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.
(1)解 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－(a－2)－＝＝.
当a≤0时，f′(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞，
由f′(x)＜0，得0＜x＜，
所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)证明 当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x，要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，
只需证明ex－ln x－2＞0，设g(x)＝ex－ln x－2，
则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0，
令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足＝，
当x变化时，g′(x)和g(x)的变化情况如下表：
x
(0，x0)
x0
(x0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
单调递减
单调递增
g(x)min＝g(x0)＝－ln x0－2＝＋x0－2，
因为x0＞0，且x0≠1，所以g(x)min＞2－2＝0，因此不等式得证.
3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f(x)＝ln x－x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)＝m(m＜－2)有两个相异实根x1，x2，且x1
微信/支付宝扫码支付