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4.与解析几何有关的压轴小题
1.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A. B. C.(6－2)π D.
答案 A
解析 设直线l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线.圆C半径最小值为d2＝×＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π2＝.故选A.
2.(2017届云南大理检测)已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 A
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，由点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率为k1＝＝＝，直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.
3.(2017届枣庄期末)过抛物线y2＝4ax(a＞0)的焦点F作斜率为－1的直线l，l与离心率为e的双曲线－＝1(b＞0)的两条渐近线的交点分别为B，C.若xB，xC，xF分别表示B，C，F的横坐标，且x＝－xB·xC，则e等于( )
A.6 B. C.3 D.
答案 D
解析 由题意，知F(a，0)，
则直线l的方程为y＝－x＋a，
∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴直线l与渐近线的交点横坐标分为，，
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又x＝－xB·xC，
即a2＝－·，整理得＝2，
∴e＝＝＝，故选D.
4.已知双曲线x2－＝1(b＞0)，以原点O为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为b，则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.2
答案 B
解析 以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝1，渐近线的方程为y＝±bx，设A(x，bx)，因为四边形ABCD的面积为b，所以2x·2bx＝b，x＝±，将A代入x2＋y2＝1可得b2＝3，
从而可得c＝2，又因为a＝1，
所以离心率e＝＝2.
5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值为( )
A.2 B.3 C. D.
答案 B
解析 由题意得F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝y，x2＝y，yy＋y1y2＝2，y1y2＝－2或y1y2＝1，
∵A，B位于x轴两侧，
∴y1y2＝－2，两面积之和为
S＝|x1y2－x2y1|＋××|y1|＝×|yy2－yy1|＋××|y1|＝|y2－y1|＋×＝＋×|y1|＝＝＋≥3，当且仅当|y1|＝时“＝”成立.
6.已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
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解析 设P(m，n)，则·＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2＝c2，
∴2c2－m2＝n2. ①
把P(m，n)代入＋＝1，得＋＝1， ②
①代入②得m2＝≥0，
∴a2b2≤2a2c2，即b2≤2c2，
又a2＝b2＋c2，∴a2≤3c2⇒e＝≥.
又m2＝≤a2⇒a2≥2c2⇒e＝≤，
∴椭圆离心率的取值范围是.
7.(2017届河南开封月考)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|＝|QN|，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
答案 D
解析 由于MN∥F1F2，|F1F2|＝4|MN|，
则|MN|＝，
设N，又F1(－c，0)，
且|F1Q|＝|QN|，则Q，点N，Q在双曲线上满足方程，有－＝1，－＝1，消去y得e2＝6，则e＝.
8.(2017·日照模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2，0).过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使＝b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1，) B.(1，2) C.(，＋∞) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 设|F1F2|＝2c(c＞0)，△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I，
则＝，.
由双曲线的定义知
2a＝，
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又＝|F1F2|＝2c，
所以＝c－a，
所以H，即a＝2.
注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时， |AB|有最小值＝b2；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时， |AB|有最小值2a，于是，由题意得b2＞2a＝4，b＞2，c＝＞2，所以双曲线的离心率e＝＞.故选C.
9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C：y2＝2px(0＜p＜4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4，0)，B(p，p)，且|PA|的最小值为，则|BF|等于( )
A.4 B. C.5 D.
答案 B
解析 设P(x，y)且y2＝2px，则
|PA|＝＝＝，
根号下二次函数的对称轴为x＝4－p∈(0，4)，
所以在对称轴处取得最小值，即
＝，
解得p＝3或5(舍去)，
所以抛物线方程为y2＝6x，B(3，3)，
易知点B在抛物线上，
所以|BF|＝3＋＝，故选B.
10.(2017届河南省天一大联考)等腰直角△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为等腰直角△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，
所以可设A(a，a)(a＞0)，
S△AOB＝a×2a＝16，得a＝4，
将A(4，4)代入y2＝2px，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，所以F(1，0).
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设M(x，y)，则x≥0，设t＝(0
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