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铜仁一中2017-2018学年度高三年级第五次月考
数学(理)试题
一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.若,则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数满足,则的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项的和为( )
A. B. C. D.
是
否
4. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作品完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,右图为该问题的程序框图,若输出的值为0,则开始输入的值为 ( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为()
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6.某校毕业典礼由5个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A.24种 B.28种 C.36种 D.48种
7.已知的图像关于点对称,且在区间上单调,则的值为( )
A.1 B.2 C. D.
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A. B.
C. D.
9.数列的前n项的和满足则下列为等比数列的是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线:的左、右焦点分别为,
是双曲线右支上一点,且,若原点到直线的距离为,则双曲线的
离心率为()
A. B. C.2 D.3
11.设,,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,对任意,存在,使得,则
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的最小值为( )
A. B.2 C. D.1
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知展开式中所有项的系数之和为729,则该展开式中含项的系数为.
14.设变量满足约束条件:,则目标函数的最大值为.
15.已知四棱锥的顶点都在半径为的球面上,底面是正方形,且底面经过球心的中点,,则该四棱锥的体积为.
16.如表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第列的数.若112在这“等差数阵”中对应的行数为列数为,则.
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知,在中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,且满足.
(1)求角A的值;
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(2)若,求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图在棱锥中,为矩形,面,,,与面成角.
(1)在上是否存在一点,使面;
(2)当为中点时,求二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)
2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等,该国质量检验部门为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试,结果统计如下图所示.
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是乙品牌的概率.
(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值.
20.(本题满分12分)
椭圆C1:(a>b>0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于b.C2与y轴的交点为M,过点P(0,1)作直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D、E.
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(1)求的方程;(2)求证:·为定值;
(3)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ>0),求λ的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(1)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(2)若对恒成立,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合,轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线的参数方程为(为参数)
(1)在极坐标系下,曲线与射线和射线分别交于两点,求的面积;
(2)在直角坐标系下,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点,求的值.
23.(本小题满分12分)
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
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(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)若不等式的解集为,且满足,求实数的取值范围.
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考题参考答案:
选择题:1-12:CAACD BDDAB BD
填空题:13.240 14. 15. 16.38或24或16或14
17.解:(1)由,
则即
(6分)
(2)若,则由正弦定理得
即
的最大值为.(本题采用余弦定理亦可求解具体解答略)(12分)
18.(Ⅰ)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在点E为PC中点…(6分)
法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,
由题意知PD=CD=1,
,设,,
由,得,
即存在点E为PC中点.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,
,,,
设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为
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由的法向量为得,得
同理求得所以
故所求二面角P-AE-D的余弦值为,因为二面角B-AE-D与二面角P-AE-D互补,所以二面角B-AE-D的余弦值为.(12分)
19.解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………(3分)
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有220+210=430个,其中乙品牌产品是210个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………………(7分)
(3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)== ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = , P(X=3)= = .…………………(9分)
X
0
1
2
3
P
∴X的分布列为
故E(X)= 0×+1×+2×+3×= .……………………………(12分)
20. 解:(1)由题设得b=2, (b>0),∴b=2,又e= =,∴c2=a2=a2-4,解得a2=9.
因此椭圆C1的方程为+ =1.(4分)
(2)由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(5分)
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设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由消去y得x2+kx-1=0,∴,①………………………(6分)
∴·=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,(7分)
∴将①代入上式得·=-1-k2+k2+1=0(定值).……………………(8分)
(2)由(2)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),
∴S1=|MA|·|MB|= ·|k1||k2|.………………………………(9分)
由解得或,∴D(,),
同理可得E(,),
∴S2=|MD|·|ME|= ··,………………………(10分)
∴λ2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)
= (97+ 36k12+ )≥,又λ>0,∴λ≥
故λ的取值范围是[,+∞)………………………………………………………(12分)
21.21.解:(1)当时
当故曲线在原点处的切线方程为.(5分)
(2) ,在(0,1)上恒成立要满足以下情况:
① 若上单调递减或先递减后递增不能恒成立排除;
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① 若在(0,1)上单调递增满足恒成立,即在(0,1)恒成立。
即恒成立;令因为,于是,当
;
② 若在(0,1)上先递增后递减,此时恒成立需满足,当不成立;
综上k的取值范围是。(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(Ⅰ)曲线在直角坐标系下的普通方程为,
将其化为极坐标方程为,
分别代入和,得,
∵,
∴的面积.(5分)
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的普通方程得,
即,
∴(5分)
23.解析:(Ⅰ)可化为,
即,或,或,
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解得,或,或;
不等式的解集为.(5分)
(Ⅱ)易知;
所以,又在恒成立;
在恒成立;
在恒成立;
.(5分)
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