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6.不等式选讲
1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，
得11的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥有解，求实数m的取值范围.
解 (1)函数f(x)可化为f(x)＝
当x≤－2时， f(x)＝－3＜0，不合题意；
当－2＜x＜1时， f(x)＝2x＋1>1⇒x>0，即0＜x＜1；
当x≥1时， f(x)＝3>1，即x≥1.
综上，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞).
(2)关于x的不等式f(x)＋4≥有解等价于max≥，
由(1)可知，f(x)max＝3，
(也可由＝＝3，得f(x)max＝3)，
即≤7，
解得－3≤m≤4.
4.已知f(x)＝， g(x)＝－x，记关于x的不等式f(x)＜g(x)的解集为M.
(1)若a－3∈M，求实数a的取值范围；
(2)若⊆M，求实数a的取值范围.
解 (1)依题意有＜－，
若a≥，则2a－3＜3，∴≤a＜3，
若0≤a＜，则3－2a＜3，∴0＜a＜，
若a≤0，则3－2a＜－a－，无解.
综上所述， a的取值范围为.
(2)由题意可知，当x∈时，
f(x)＜g(x)恒成立，
∴＜3恒成立，
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即－3－x＜a＜3－x，
当x∈时，－2＜a＜2.
5.已知函数f(x)＝2＋.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜4；
(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值.
解 (1)∵ a＝1，
∴原不等式为2＜4，
∴
或
或
∴－＜x＜－1或－1≤x＜1或∅，
∴原不等式的解集为.
(2)由题意得g(x)＝f(x)＋f(－x)
＝2＋≥2＋＝4＋ ≥4，
当且仅当2＝，即a＝±，
且－≤x≤时，g(x)取最小值4.
6.已知f(x)＝＋
(1)若a＝1，解不等式f(x)≤3；
(2)f(x)≤2a＋x在上有解，求a的取值范围.
解 (1)
或
或
－1≤x＜－或－≤x≤1或∅，
所以原不等式解集为{x|－1≤x≤1}.
(2)因为x∈，
所以f(x)＝＋≤2a＋x，推出≤3a有解，
所以a≥0，所以不等式化为2x＋1≤3a有解，
即2a＋1≤3a⇒a≥1.
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所以a的取值范围为[1，＋∞).
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