2018版考前三个月高考数学理科总复习压轴小题突破练3：立体几何.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.与立体几何有关的压轴小题 ‎1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为(　　)‎ A.＋4 B. C.＋4 D.π＋ 答案　D 解析　由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，‎ 故其体积V1＝πr2h＝π×12×2＝π；‎ 四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形，PO⊥底面ABCD，且PO＝r＝1.‎ 故其体积V2＝S正方形ABCD×PO＝×22×1＝.‎ 故该几何体的体积V＝V1＋V2＝π＋.‎ ‎2.如图，正四面体D－ABC的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.O－ABC是正三棱锥 B.直线OB与平面ACD相交 C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 D.异面直线AB和CD所成的角是90°‎ 答案　C 解析　①如图ABCD为正四面体，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ 又∵OA，OB，OC两两垂直，‎ ‎∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥BC.‎ 过O作底面ABC的垂线，垂足为N，‎ 连接AN交BC于M，可知BC⊥AM，‎ ‎∴M为BC的中点，‎ 同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，‎ ‎∴N为底面△ABC的中心，‎ ‎∴O－ABC是正三棱锥，故A正确；‎ ‎②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；‎ ‎③由图可知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，则C错误；‎ ‎④异面直线AB和CD所成角是90°，故D正确.‎ ‎3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为θ，则sin θ的最大值为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交AB于点M.‎ 设CF＝x(0＜x＜1)，AM＝t，‎ 由△DAM∽△FDA，得＝，即有t＝，‎ 由0＜x＜1，得＜t＜1.‎ 在翻折后的几何体中，‎ ‎∵AF⊥OD，AF⊥OM，‎ ‎∴AF⊥平面ODM，从而平面ODM⊥平面ABC，‎ 又平面ABD⊥平面ABC，则DM⊥平面ABC，连接MF，‎ 则∠MFD是直线FD与平面ABCF所成角，即∠MFD＝θ，‎ 而DM＝，DF＝2－x＝，‎ 则sin θ＝＝t＝，‎ 由于＜t2＜1，则当t2＝时，sin θ取到最大值，其最大值为.‎ ‎4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′－BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A.3π B.π C.4π D.π 答案　A 解析　由图示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S＝4π×2＝3π.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A.2 B.1 C. D. 答案　C 解析　∵球心在面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°，底面外接圆圆心N位于BC的中点处，‎ ‎△A1B1C1外心M在B1C1中点上，‎ 设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1，‎ ‎∴2＋2＝1，‎ 即x＝，则AB＝AC＝1，‎ ‎∴＝×1＝.‎ ‎6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是(　　)‎ A.36 B.12 C.24 D.18 答案　B 解析　∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，‎ 同理BC⊥平面D1DCC1，则 BC⊥CP，∠APD＝∠MPC，‎ ‎∴△PAD∽△PMC，‎ ‎∵AD＝2MC，‎ ‎∴PD＝2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，‎ 设P(x，y)，∵PD＝2PC，‎ ‎∴＝2，化简得(x－8)2＋y2＝16(0≤x≤6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，2)，三棱锥P－BCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，2)时，CP＝2，棱锥的高最大，此时三棱锥P－BCD的体积V＝×18×2＝12，故选B.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设AP＝x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是(　　)‎ 答案　A 解析　球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：‎ ‎①当x＝1时；②当x＝时；③当x＝时.‎ ‎①当x＝1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3××2π×1＝，且为函数f(x)的最大值；‎ ‎②当x＝时，以A为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半；‎ ‎③当x＝时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3××2π×＝π＜，‎ 对照选项可得A正确.‎ ‎8.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. 答案　C 解析　由条件知直径SC所对的圆周角∠SBC＝∠SAC＝90°，由已知∠ASC＝∠BSC＝45°，‎ ‎∴△SBC与△SAC是全等的等腰三角形，‎ 设球的球心为点O，‎ ‎∴BO⊥SC，AO⊥SC，即SC⊥平面AOB，由条件OA＝OB＝2，则△OAB为等边三角形，‎ ‎∴VS－ABC＝S△OAB·SC＝×4＝.‎ ‎9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球O的体积为，其中BB1＝2，则三棱锥O－ABC的体积的最大值为(　　)‎ A.1 B.3 C.2 D.4‎ 答案　A 解析　由题意设外接球的半径为R，则由题设可得πR3＝π，由此可得R＝2，‎ 记长方体的三条棱长分别为x，y，2，‎ 则2R＝，由此可得x2＋y2＝12，‎ 三棱锥O－ABC的体积V＝xy×1‎ ‎＝xy≤×＝1，当且仅当x＝y＝时“＝”成立.故选A.‎ ‎10.(2017·浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝.现将△ABD沿BD折起，当二面角A－BD－C处于过程中，直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AEC即为二面角A－BD－C的平面角，‎ 而AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC＝4－2cos∠AEC，∠AEC∈，‎ ‎∴AC∈[1，]，‎ ‎∴·＝2cos〈，〉＝·(－)‎ ‎＝－2＋AB·BC·＝1－∈，‎ 设异面直线AB，CD所成的角为θ，‎ ‎∴0≤cos θ≤·＝，故选D.‎ ‎11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球的表面积为______________.‎ 答案　 解析　根据题意可知，三棱锥B－ACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为1，高为.‎ 由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，‎ ‎∴正三棱柱AD′C′－BDC的外接球的球心为O，外接球的半径为r.球心到底面的距离为，则球的半径满足r2＝2＋2＝，∴外接球的表面积为4πr2＝.‎ ‎12.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′分别交于M，N两点，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：‎ ‎①平面MENF⊥平面BDD′B′；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②直线AC∥平面MENF始终成立；‎ ‎③四边形MENF周长L＝f(x)，x∈[0，1]是单调函数；‎ ‎④四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常数.‎ 以上结论正确的是______________.‎ 答案　①②④‎ 解析　①因为EF⊥BB′，EF⊥BD，BB′∩BD＝B，所以EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′成立；‎ ‎②因为AC∥EF，所以直线AC∥平面MENF始终成立；‎ ‎③因为MF＝，‎ f(x)＝4，所以f(x)在[0，1]上不是单调函数；‎ ‎④VC′－MENF＝VF－MC′E＋VF－C′NE＝·＋·＝，故h(x)为常数.‎ ‎13.在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB，三棱锥M－PBC，三棱锥M－PCA的体积，若f(M)＝，且＋≥8，则正实数a的最小值为____________.‎ 答案　1‎ 解析　依题意，＋x＋y＝××3×2×1＝1，‎ 即x＋y＝，‎ ‎∴＋＝2(x＋y)＝2≥2(1＋a＋2)＝2(＋1)2，‎ 由题设2(＋1)2≥8，解得a≥1，‎ 故正实数a的最小值为1.‎ ‎14.(2017·江西南阳一中月考)如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为__________.‎ 答案　 解析　∵AD⊥平面ABC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DA⊥AB，AD⊥BC，‎ ‎∵AE⊥DB，又AD＝AB＝2，‎ ‎∴DE＝.‎ 又∵BC⊥AC，AC∩AD＝A，‎ ‎∴BC⊥平面ACD，‎ ‎∴平面BCD⊥平面ACD，‎ ‎∵AF⊥DC，平面BCD∩平面ACD＝CD，AF⊂平面ACD，‎ ‎∴AF⊥平面BCD，‎ ‎∴AF⊥BD，又AE⊥BD，‎ ‎∴BD⊥平面AEF，‎ 由AF⊥EF，得AF2＋EF2＝AE2＝2≥2AF·EF，即AF·EF≤1，‎ ‎∴S△AEF≤，当且仅当AF＝EF＝1时“＝”成立，‎ ‎∴三棱锥D－AEF体积的最大值为××＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费