河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形四边形第3节等腰三角形与直角三角形精讲试题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第三节　等腰三角形与直角三角形 河北五年中考命题规律 年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分 ‎2017‎ ‎25 (1) (2)‎ 直角三角形的性质 以动点、平行四边形为背景，考查勾股定理 ‎8‎ ‎8‎ ‎2016‎ ‎16‎ 等边三角形的判定 已知特殊角平分线上一定点，在角两边找两点与定点构成等边三角形 ‎2‎ ‎2‎ ‎2015‎ ‎20‎ 等腰三角形的性质 以等腰三角形为背景，求角度 ‎3‎ ‎3‎ ‎2014年未考查 ‎2013‎ ‎13‎ 等边三角形的性质 以两个等边三角形与正方形结合为背景，求两角度之和 ‎3‎ ‎3‎ 命题规律 对于本课时内容，中考中一般设置1道题，分值为2～8分，题型涉及选择和解答题．纵观近五年河北中考试题，本课时的常考类型有：(1)等边三角形的相关计算；(2)直角三角形的相关计算；(3)找符合条件的等边三角形.‎ 河北五年中考真题及模拟　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ ‎　等腰三角形的性质和相关计算 ‎1．(2016河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　D　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 ‎(第1题图)‎ ‎　　　(第2题图)‎ ‎2．(2013河北中考)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　B　)‎ A．90° B．100° C．130° D．180°‎ ‎3．(2016秦皇岛二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝‎6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(　C　)‎ A．‎4 cm B．‎‎3 cm C．‎2 cm D．‎‎1 cm ‎(第3题图)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　　(第4题图)‎ ‎　直角三角形的性质、判定及相关计算 ‎4．(2017保定中考模拟)已知：如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中线段DF的长与DB相等．将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转．‎ 甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论．‎ 甲：线段AF与线段CD的长度总相等；‎ 乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；‎ 那么，你认为(　A　)‎ A．甲、乙都对 B．乙对甲不对 C．甲对乙不对 D．甲、乙都不对 ‎5．(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　B　)‎ A．4，5，6 B．1.5，2，2.5‎ C．2，3，4 D．1，，3‎ ‎6．(2017唐山模拟)如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为(　C　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ ‎(第6题图)‎ ‎　　　(第7题图)‎ ‎7．(2017石家庄中考模拟)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长(　D　)‎ A．1＋ B．1－ C.＋ D. ‎8．(2016保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　D　)‎ A．5 B. C. D．5或 ‎9．(2017石家庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上的一个动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN.则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是__4__，最小值是__2__．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,中考考点清单 ‎　等腰三角形的性质与判定 ‎1．等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底 性质 ‎(1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；‎ ‎(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；‎ ‎(3)等腰(不是等边)三角形是轴对称图形，有一条对称轴；‎ ‎(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；‎ ‎(5)面积： S△ABC＝BC·AD 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”)‎ ‎2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 ‎(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；‎ ‎(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；‎ ‎(3)等边三角形内、外心重合；‎ ‎(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；‎ ‎(5)面积：S△ABC＝BC·AD 判定 ‎(1)三边都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎(2)三个角相等的三角形是等边三角形；‎ ‎(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ‎　直角三角形的性质与判定 ‎3．直角三角形 定义 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形 性质 ‎(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝AC)；‎ ‎(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝AC)；‎ ‎(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；‎ ‎(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°‎ 判定 ‎(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；‎ ‎(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；‎ ‎(3)有两个角互余的三角形是直角三角形 ‎4.等腰直角三角形 定义 顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形 性质 等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°‎ 判定 ‎(1)用定义判定；‎ ‎(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 ‎,中考重难点突破　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ ‎　等腰三角形的相关计算 ‎【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.‎ ‎【解析】由垂直平分线可得∠AED＝90°，在Rt△ADE中由两锐角互余可求∠A，在等腰三角形中由两底角相等，即可求得．在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：‎ ‎【答案】70°或20°‎ ‎1．(2017天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(　B　)‎ A．BC B．CE C．AD D．AC ‎(第1题图)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　(第2题图)‎ ‎2．(2017滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　B　)‎ A．40° B．36° C．80° D．25°‎ ‎　等腰三角形、等边三角形的性质与判定 ‎【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝‎6 cm，DE＝‎2 cm，则BC＝________cm.‎ ‎【解析】如图，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，从而求出DN的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值．‎ ‎【答案】8‎ ‎3．(2017台州中考)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　C　)‎ A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE ‎(第3题图)‎ ‎　　(第4题图)‎ ‎4．(2017南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　D　)‎ A．(1，1) B．(，1)‎ C．(，) D．(1，)‎ ‎5．(2017张家口中考模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，E，M在BC上，则∠EAM等于(　B　)‎ A．58° B．32° C．36° D．34°‎ ‎(第5题图)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　(第6题图)‎ ‎6．已知：如图，在△ABC中，∠BCD＝12°，∠B＝63°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则∠ACD＝__75°__．‎ ‎【例3】已知：如图，在△ABC中，AD既是△ABC的中线，又是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形．‎ ‎【解析】由已知条件入手，添加辅助线，构造全等三角形，依据三角形全等的判定之一“边角边”证明两个三角形全等，从而得出结论．‎ ‎【答案】证明：延长AD到A′，使A′D＝AD，连接A′B.‎ ‎∵AD是△ABC的中线和角平分线，‎ ‎∴AD平分∠BAC，BD＝CD，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ 在△ADC和△A′DB中，‎ ‎∴△ADC≌△A′DB，‎ ‎∴AC＝A′B，∠DAC＝∠DA′B.‎ ‎∵∠DAB＝∠DAC，‎ ‎∴∠DAB＝∠DA′B，‎ ‎∴BA＝BA′.‎ ‎∵AC＝A′B，‎ ‎∴AB＝AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与DC不平行，∠C＝90°，E为CD中点，∠FAE＝∠DAE，点F在直线BC上，求∠AEF的度数．‎ 解：延长AE交BC的延长线于点G.‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠D＝∠ECG，‎ ‎△DAE＝∠G.‎ ‎∵E为DC中点，‎ ‎∴DE＝CE，‎ ‎∴∠ADE≌△GCE，‎ ‎∴AE＝GE.‎ ‎∵∠FAE＝∠DAE，‎ ‎∴∠FAE＝∠G，‎ ‎∴FA＝FG，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AEF＝90°.‎ ‎　直角三角形的性质、判定和勾股定理 ‎【例4】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，给出以下五个结论：①AF＝CE；②AE＝BF；③△EFM是等腰直角三角形；④S四边形AEMF＝S△ABC；⑤EF＝BM＝MC.当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合)，上述结论中始终正确的有(　　　)‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解析】连接AM，易证AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形．S四边形AEMF＝S△AFM＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝S△ABC，但是EF与BM不一定相等，只有四边形AFME为矩形时，EF＝BM.‎ ‎【答案】C ‎8．(株洲中考)如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有(　D　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎9．(2017苏州中考)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝‎4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则＝____．(结果保留根号)‎ ‎10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5，求四边形ABCD的面积．‎ 解：连接AC.‎ ‎∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝13.‎ ‎∵在△ACD中，‎ AC2＋AD2＝132＋92＝169＋81＝250，‎ CD2＝(5)2＝250，‎ ‎∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝BC·AB＋AD·AC ‎＝×12×5＋×9×13‎ ‎＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费