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陕西省西安市碑林区2017年中考数学三模试卷
一、选择题
1.的绝对值等于（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. D.
2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. （﹣2a2）3=﹣8a6 D. 4x3﹣3x2=1
4.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
5.正比例函数y=（2k+1）x，若y的值随x值增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣ B. k＜﹣ C. k=﹣ D. k=0
6.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为（ ）
A. 5 B. 3 C. 8 D. 10
7.一次函数y= x+b（b＞0）与y= x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
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8.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（ ）
A. B. 4﹣2 C. D. ﹣2
9.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，若AB=4，CD=1，则CE的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
二、填空题
10.分解因式：a2b+2ab2+b3=________．
11.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是________．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3 ，则AC的长为________．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣ ，0），A点的横坐标是1，AB=3BC，双曲线y= （m＞0）经过A点，双曲线y=﹣ 经过C点，则m的值为________．
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14.如图，△APB中，AB=2 ，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是________．
三、解答题
15.计算： +（π﹣2015）0+（ ）﹣1﹣6tan30°．
16.解方程： + =1．
17.如图，点P是⊙O上一点，请用尺规过点P作⊙O的切线（不写画法，保留作图痕迹）．
18.某中学组织全体学生参加了“服务社会献爱心”的活动，为了了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的 ，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名九年级学生？
（2）补全条形统计图．
（3）若该中学九年级共有1400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名？
19.如图，已知：在矩形ABCD中，点E在边CD上，点F在边BC上，且BF=CE，EF⊥AF，求证：AB=CF．
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20.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
21.小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 ，那么他的月收入最高能达到多少元？
22.某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择，一是直接获得18元的礼金券，二是再得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
某种品牌化妆品
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
12
24
12
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
23.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若tanD= ，DE=16，求PD的长．
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24.如图，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过点C交x轴于E（6，0）．
（1）写出顶点D的坐标和直线l的解析式．
（2）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于NN连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.综合题
（1）如图①，点A，点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．
（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6 ，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．
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（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
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答案解析部分
一、选择题
1.【答案】D
【考点】绝对值
【解析】【解答】∵|﹣ |= ，
∴﹣ 的绝对值是 ．
故答案为：D．
【分析】依据负数的绝对值是它的相反数求解即可.
2.【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面观察几何体所得的图形，需要注意能观察的线用实线表示，不能直接观察的线用虚线表示.
3.【答案】C
【考点】整式的混合运算
【解析】【解答】A、原式=a5 ， A不符合题意；
B、原式=a3 ， B不符合题意；
C、原式=﹣8a6 ， C符合题意；
D、原式不能合并，D不符合题意，
故答案为：C
【分析】对于A，依据同底数幂的乘法法则进行计算即可；对于B依据同底数幂的除法法则进行判断即可；对于C依据积的乘方法则进行判断即可；对于D，依据同类项的定义以及合并同类项法则进行判断即可.
4.【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC∥DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°﹣30°=15°，
故答案为：B．
【分析】先求得∠ABC的度数，然后依据平行线的性质可求得∠DBC的度数，最后，依据∠ABD=∠ABC-∠DBC求解即可.
5.【答案】A
【考点】正比例函数的图象和性质
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【解析】【解答】根据y随x的增大而增大，知：2k+1＞0，
即k＞﹣ ．
故答案为：A．
【分析】由正比例函数的性质可知2k+1＞0，然后解关于k的不等式求解即可.
6.【答案】B
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=8，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴EF= AC=5，
∴DF=DE﹣EF=3，
故答案为：B．
【分析】先依据三角形中位线的性质求得DE的长，然后在Rt△AFC中，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得EF的长，最后，依据DF=DE-EF求解即可.
7.【答案】C
【考点】两条直线相交或平行问题
【解析】【解答】解：设直线y= x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y= x+b于点D，如图所示．
∵直线y= x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，
∴点A（0，﹣1），点C（ ，0），
∴OA=1，OC= ，AC= = ，
∴cos∠ACO= = ．
∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，
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∴∠BAD=∠ACO．
∵AD=3，cos∠BAD= = ，
∴AB=5．
∵直线y= x+b与y轴的交点为B（0，b），
∴AB=|b﹣（﹣1）|=5，
解得：b=4或b=﹣6．
∵b＞0，
∴b=4，
故答案为：C．
【分析】设直线y= x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=x+b于点D， 然后依据锐角三角函数的定义可得到AB点长，从而可确定出点B的坐标，故此可得到b的值.
8.【答案】B
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，过E作EF⊥AD于F，则△AEH是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× =2 ，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2 ，
∴x2+x2=（2 ﹣x）2 ，
解得x=4﹣2 （负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ．
故答案为：B．
【分析】先过E作EH⊥AD于H，设OE=x，依据角平分线的性质可得到EH=AH=x，然后依据特殊锐角三角函数值可得到AE=2-x，接下来，在Rt△AHE中，依据列方程求解即可.
9.【答案】A
【考点】垂径定理
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【解析】【解答】连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC= AB= ×=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣1，
∵OC2+AC2=OA2 ，
∴（R﹣1）2+22=R2 ， 解得R=2.5，
∴OC=2.5﹣1=1.5，
∴BE=2OC=3，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE= = = ．
故答案为：A．
【分析】设⊙O的半径为R，依据垂径定理得AC=BC=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-1，然后依据勾股定理得到（R-1）2+22=R2 ， 解方程可求得R的值，则OC=1.5，然后依据三角形的中位线定理可得到BE=2OC=3，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，最后，在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE即可．
二、填空题
10.【答案】b（a+b）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=b（a+b）2 ．
故答案为：b（a+b）2 ．
【分析】先提取公因式b，然后再依据完全平方公式进行分解即可.
11.【答案】8
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
故答案为：8．
【分析】正多边形的边数=360°÷一个外角的度数求解即可.
12.【答案】8.16
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan 42≈0.9004，
=0.9004，
AC≈8.16，
故答案为：8.16．
【分析】先用计算器求得tan 42的值，然后依据tan∠A=求解即可.
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13.【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵A点的横坐标是1，且在双曲线y= 上，
∴A（1，4m），∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠FCB，
∴△ABE∽△BCF，
∴ = = =3，
∴CF= ，BF= ，
∴C（﹣ ﹣ ， ），
∵双曲线y=﹣ 经过C点，
∴ （﹣ ﹣ ）=﹣2m，
∴m= ，
故答案为： ．
【分析】过点A作AE⊥x轴垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，先由点A在反比例函数的图像上，可得到点A（1，4m），接下来，再证明△ABE∽△BCF，依据相似三角形的性质可求得CF和BF的长，从而得到点C的坐标，最后，依据点C在双曲线上可得到关于m的方程，从而可求得m的值.
14.【答案】2
【考点】全等三角形的判定与性质
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【解析】【解答】解：如图，延长EP交BC于点F，
∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF= CP= b，a2+b2=8，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=8，
∴ ab≤2，
即四边形PCDE面积的最大值为2．
故答案为：2．
【分析】首先延长EP交BC于点F，从而可得到PF⊥BC，接下来，再证明四边形CDEP为平行四边形，然后依据平行四边形的性质得出四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=8，可判断出ab的最大值，从而可得到问题的答案.
三、解答题
15.【答案】解：原式=2 +1+2﹣6× =3．
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
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【解析】【分析】先依据二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊锐角三角函数值进行化简，最后，再进行计算即可.
16.【答案】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
（x+1）2﹣4=（x﹣1）（x+1），解得x=1．
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+1）=0．
所以原方程的无解．
【考点】解分式方程
【解析】【分析】方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），然后方程两边同时乘以（x﹣1）（x+1）将分式方程化为整式方程，求得可求得x的值，最后，再进行检验即可.
17.【答案】解：连接OP并延长，过P作OP的垂线，即为圆O的切线，如图所示：
【考点】切线的性质，作图—复杂作图
【解析】【分析】连接OP并延长，过P作OP的垂线，即为圆O的切线.
18.【答案】（1）解：根据题意得：15÷ =50（名），
则本次共抽取了50名九年级学生
（2）解：去敬老院服务的学生有50﹣（25+15）=10（名），
（3）解：根据题意得：1400× =280（名），
则该中学九年级去敬老院的学生约有280名．
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【分析】（1）先依据条形统计图和扇形统计图可得到社区文艺演出的人数和所占的百分比，最后依据总数=频数除以占的百分比求解即可；
（2）依据总人数等于各部分人数之和求出去敬老院服务的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出去敬老院的百分比，乘以1400即可得到结果.
19.【答案】证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，
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∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠BAF+∠BFA=∠BFA+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
在△ABF和△FCE中
∴△ABF≌△FCE（AAS），
∴AB=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【分析】首先依据矩形的性质可得到∠B=∠C=90°，然后，再证明∠BAF=∠CFE，接下来，依据AAS可证明△ABF≌△FCE，最后，依据全等三角形对应边相等进行证明即可.
20.【答案】解：如图，
在Rt△BDF中，∵∠DBF=60°，BD=4km，
∴BF= =8km，
∵AB=20km，
∴AF=12km，
∵∠AEB=∠BDF，∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△BDF，
∴ = ，
∴AE=6km，
在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km．
故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【分析】首先在Rt△BDF中，根据特殊锐角三角函数值和三角函数的定义可求得BF的长，进一步求出AF，然后，再证明△AEF∽△BDF，依据相似三角形的性质可求得AE的长，最后，在Rt△AEF中根据三角函数可求这艘轮船的航行路程CE的长度.
21.【答案】（1）解：由题意得，y=20×4x+12×8×（22﹣x）+900，即y=﹣16x+3012
（2）解：∵依题意，得4x≥ ×8×（22﹣x），
∴x≥12．
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在y=﹣16x+3012中，
∵﹣16＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x=12时，y取最大值，此时y=﹣16×12+3012=2820．
答：当小李每月加工A型服装12天时，月收入最高，可达2820元．
【考点】一次函数的应用
【解析】【分析】（1）设他每月加工A型服装的时间为x天，则加工B型服装的时间为(22-x)天，然后依据题意列出y与x的关系式即可；
（2）根据每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的列不等求解即可.
22.【答案】（1）解：树状图为：
∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，摇出一红一白的概率=
（2）解：∵两红的概率P= ，两白的概率P= ，一红一白的概率P= ，
∴摇奖的平均收益是： ×12+ ×24+ ×12=20元．
∵20＞18，
∴我选择摇奖
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）首先依据题意画出树状图，然后找出所有可能的情况以及符合条件的情况数，最后，依据概率公式进行计算即可；
（2）首先计算出相应的平均收益，然后，再比较大小即可.
23.【答案】（1）证明：连接OB，则OA=OB，
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∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵ ，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵tanD= ，
∴设AP=5x，AD=12x，
则PD=13x，
∴BD=8x，
由切割线定理得，BD2=DE•AD，
即（8x）2=16×（12x），
∴x=3，
∴PD=39．
【考点】切线的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OB，首先依据等腰三角形的三线合一的性质得到OP是线段AB的垂直平分线，然后，依据线段垂直平分线的性质可得到PA=PB，接下来，再证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）设AP=5x，AD=12x，则PD=13x，求得BD=8x，然后依据切割线定理可得到关于x的方程，从而可求得x的值，于是可得到PD的长.
24.【答案】（1）解：当x=0时，y=﹣x2+x+6=6，则C（0，6），
y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣ ）2+ ，则D点坐标为（ ， ），
设直线l的解析式为y=kx+b，
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把C（0，6），E（6，0）代入得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=﹣x+6
（2）解：存在．
直线CN交x轴于P，作PH⊥l于H，如图，利用折叠的性质得CN平分∠MCM′，则根据角平分线的性质得PO=PH，
设OP=t，则PH=t，PE=6﹣t，
∵OC=OE，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴∠PEH=45°，
∴△PEH为等腰直角三角形，
∴PE= PH，即6﹣t= t，解得t=6（ +1），
∴P（6（ +1），0），
设直线PC的解析式为y=mx+n，
把C（0，6），P（6（ +1），0）代入得 ，解得 ，
∴直线PC的解析式为y=﹣（ +1）x+6，
解方程组 得 或 ，
∴N（2+ ，2﹣3 ），
∴QN⊥x轴，
∴Q（2+ ，0）．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）jy轴上点的横坐标为0，将x=0代入抛物线的解析式可求得对应的y的值，从而可得到点C的纵坐标，再利用配方法得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）直线CN交x轴于P，作PH⊥l垂足为H，首先利用折叠的性质得CN平分∠MCM′，则根据角平分线的性质得PO=PH，设OP=t，则PH=t，PE=6-t，证明△PEH为等腰直角三角形，从而得到关于t的方程，然后可求得t的值，于是可得到点P的坐标，接着利用待定系数法求出直线PC的解析式，最后将抛物线的解析式与直线PC的解析式组成方程组求解即可.
25.【答案】（1）解：如图①中，′作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点．
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（2）解：如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，
∵DM=EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE=FM，
∴DE+BF=FM+FB=BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=3 ，
在Rt△ADO中，OD= =3，
∴BD=6，
∵DM∥AC，
∴∠MDB=∠BOC=90°，
∴BM= = =2 ．
∴DE+BF的最小值为2 ．
（3）解：如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．
∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
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∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DM=DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
∵AD=BD，
∴△ADM≌△BDC，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4 ，
∴四边形ABCD的周长最大值为12+4 ．
【考点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）′作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点;
（2）作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，首先依据平行四边形的性质可得到DE=FM，从而可证明DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，最后，在Rt△BDM中，依据勾股定理求得BM的长即可；
（3）连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．先证明AC=CD+CB，再证明当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大.
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