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综上可知，命题成立．
评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数，则这两个正整数都是完全平方数．这一命题是我们证明此题的出发点．
19．4．27★★★如果正整数、、满足．
证明：数和都可以表示为两个正整数的平方和．
解析 巧妙运用下述命题：如果正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平方和．事实上，设，这里、、都是正整数．则．于是，可表示为两个整数和的平方和，命题获证．
注意到，由条件有
．
利用已证命题，可知
．
记，，由可知、都是正整数，并且．若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而，这就是
要证的结论．
评注 这里本质上只是恒等式的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力显得十分重要．
19．4．28是否存在正整数、使得是完全平方数？
解析 分如下三种情形讨论：
（1）若m、都是偶数，则，，所以，
故此时不是完全平方数．
（2）若、都是奇数，则，，所以，
故此时不是完全平方数．
（3）若、是一奇一偶，不妨设是奇数，是偶数，则，，所以，故此时不是完全平方数．
综上所述，对于任意正整数、，正整数都不是完全平方数．
评注 判断一个数不是完全平方数，我们也可以用“模”的方法，例如，我们知道，偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，所以，若一个整数同余2或者3模4
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，则它一定不是完全平方数；类似地，若一个整数同余2模3，则它一定不是完全平方数；一个整数同余2、3模5，则它一定不是完全平方数等等．
其实，考虑末位数也是用“模”的方法，即模10．
19．4．29★★★已知是正整数，且和都是完全平方数，求证：．
解析 因为，所以，只需证明：，且即可．
设，，其中、都是正整数．由于是奇数，所以，，从而，于是，是奇数，所以，，即，从而．
又对于任意整数，有，所以，，于是，故只能是，
所以，，从而．
因为（8，5）=1，所以，
19．4．30★★★—个正整数若能表示为两个正整数的平方差，称为“智慧数”，比如，16就是一个“智慧数”，从1开始数起，第2008个“智慧数”是哪个数？
解析 1不是“智慧数”，大于1的奇正整数，都是“智慧数”．
被4整除的偶数，有，都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数的平方差，4不是“智慧数”．
被4除余2的数，设，其中、为正整数，当、奇偶性相同时，，均为偶数，被4整除，而不被4整除，所以、奇偶性相同的假设不可能成立；当、奇偶性不同时，，均为奇数，为奇数，而为偶数，故、奇偶性不同的假设也不可能成立．即不存在正整数、，使，即形如的数均不是“智慧数”．
综述，在正整数列中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，之后每连续四个数中有三个“智慧数”，其中第二个数，即形如的数不是智慧数．
，．因此，第2008个“智慧数”是2680．
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19．4．31★★★把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如：，求的值．
解析 当时，若是奇数，则，即能表示成两个正整数的平方差；若，则，即也能表示成两个正整数的平方差；若，则，即也能表示成两个正整数的平方差；若，则不能表示成两个正整数的平方差．
所以，，，，…，一般地，
，，
，
故，
而，所以
．
19．4．32★★在二个连续的平方数之间能不能有二个完全立方数？换言之，是否存在正整数、、使得？
解析 假设存在正整数、、，使得．
因，可得．又因为，可得，即．故，矛盾．
故假设不成立，即二个连续的平方数之间不能有二个完全立方数．
19．4．33★★★设为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制表示下此完全平方数的各位数字之和为，那么称为好数（例如13是一个好数，因为的各位数字之和等于13）．问：在1，2，…，2007中有多少个好数？
解析 首先，对分别计算，可得，利用十进制下一个数与它的数码和模9同余，可知满足条件的，即或．
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其次，注意到，因此，若存在非负整数，使得，则为好数，又由，可知，4是好数，因此，若，则为好数．最后，由
，
可知若，则是好数．
综上可知，为好数的充要条件是或．依此可求得1，2，…，2007中好数的个数为个．
19．4．34★★★在黑板上依如下规则写下了若干个数：第一个数为1，以后的每一个数都等于已写数的个数加上这些已写数的平方和．证明：黑板上不可能出现除1以外的完全平方数．
解析 利用相邻两个完全平方数之间的正整数都不是完全平方数这一结论．
设第次所写的数为，则，，并且
，． ①
利用递推式①，可知
，，②
由①-②，可知
，，
即，．
注意到，，故时，不是完全平方数，又不是完全平方数，故命题成立．
评注 用递推式表示题中的条件后，问题得以数学化，从而获得解决．用恰当的方式将问题表示，这一过程是一个数学化的过程，是处理实际问题时必要的第一步．
19.4.35★★★如果对的一切整数值，的二次三项式都是平方数（即整数的平方）．证明：
（1）、、都是整数；
（2）、、都是整数，并且是平方数．
反过来，如果（2）成立，是否对一切的整数值，的值都是平方数？
解析 （1）令得平方数.
令得，，其中、都是整数，所以
，
都是整数．
（2）如果是奇数（是整数），那么令得
，
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其中是整数．
由于是整数，所以被4整除，
除以4余2．
而，在、的奇偶性不同时，是奇数；在、的奇偶性相同时，被4整除．
因此，从而是偶数，是整数．也是整数．
在（2）成立时，不一定对的整数值都是平方数．例如，，，，时，
不是平方数．
19．4．36★★★设为任意正整数，为正整数．
试确定正整数，使都是某个正整数的平方．
解析 令.
首先我们知道：
（1），.
因此，均不为完全平方数．
所以，2不满足所要求的条件．
（2），对任意正整数而言，必为整数，所以必为完全平方数．
（3）对任意而言，必为奇数，但任一奇数，设（为整数），则
．
显然不可能是型的数．（因为必为一奇一偶，除之外，，又时，，而时，也不为的数）．
由（1）、（2）、（3）的讨论得知是唯一使恒为完全平方数的正整数．
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