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第18章 整数几何
18.1.1★已知的两条高长分别是5、15,第三条高的长数,求这条高之长的所有可能值.
解析 由面积知,三条高的倒数可组成三角形三边,这是它们的全部条件.
设第三条高为,则
解得,可取4、5、6、7这四个值.
18.1.2★已知的三边长分别为,,,且边上的高的长为,其中为正整数,且,问:满足上述条件的三角形有几个?
解析 注意为之最长边,故,设,,则,而可正可负.
由,及,得,,由勾股定理,知,展开得,由及为正整数,知,2,…,12,这样的三角形有12个.
18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数,其中一条直角边不超过20,其外接圆半径与内切圆半径之比为,求此三角形周长的最大值.
解析 设该直角三角形直角边长为、,斜边为,则外接圆半径,内切圆半径,不妨设.
由条件知,,平方,得,即
,
,
于是,,,或,,,周长为,为正整数.
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的最大值为6,此时各边为18、24、30,周长最大值为.
18.1.4★为不等边三角形,,,其他两边长均为整数,求的面积.
解析 设,,则由余弦定理,有
.
由条件,不妨设,则为之最小边,只能取值1、2、3、4、5、6,分别代入,发现当或5时,,其余情形均无整数解.
于是或.
18.1.5★★一点与半径为15的圆的圆心距离是9,求经过且长为整数的弦的条数.
解析 如图,半径为,,过的弦长为整数,为直径,,,则,因此
.
又,故这样的弦共有条,其中与垂直的弦及各一条,其余的弦每种长度有两条(关于对称).
18.1.6★★在直角三角形中,各边长都是整数,,为边上的高,为垂足,且(奇素数),求的值(用表示).
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解析 由知,故设(为正整数),则,又由勾股定理,知,故.
设,代入得,易知只能有,,解得,,于是.
18.1.7★★设正三角形,、分别在、上,,两端延长,交外接圆于、,若、、长均为正整数,求的最小值.
解析 如图, 易知也是整数.设,,,则,于是由相交弦定理,得,.
设,,,,,则,由于,故,要使达到最小,得取,于是.由于,,,知.当,时取到最小值3,此时.
18.1.8★★已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数,对边乘积之和等于四边形面积的两倍,且,求该四边形面积、对角线长度.
解析 不妨设,,,,与交于,则
,于是由托勒密定理,知、、、必共圆,且满足.又由已知条件,,.经搜索知250表为平方和只有两组:和.由对称性,不妨设,,,,则.
由余弦定理,因,得,得,于是.
18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的?证明你的结论.
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解析 存在满足条件的三角形.
当的三边长分别为,,时,.
如图,当时,延长至点,使.连结,为等腰三角形.
因为为的一个外角,所以.由已知,,所以.所以为等腰三角形.
又为与的一个公共角,有,于是,即,所以.
而,所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形.
评注 满足条件的三角形是唯一的.
若,可得.有如下三种情形:
(ⅰ)当时,设,,(为大于1的正整数),代入,得,解得,有,,;
(ⅱ)当时,设,,(为大于1的正整数),代入,得.解得,有,,,此时不能构成三角形;
(ⅲ)当时,设,,(为大于1的正整数),代入,得,即,此方程无整数解.
所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件.
18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个?
解析 设三角形三边依次为、、,则,
,
.
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于是是平方数,令,得,则,,.
又不可能是奇数,否则,得,则,,.
又不可能是奇数,否则,将,4,6,8,10,12,14,16,18代入,发现仅当,8时满足要求.因此这样的三角形共有两个,三边长依次为3、4、5与13、14、15.
18.1.11★★某直角三角形边长均为整数,一直角边比斜边小1575,求其周长的最小值.
解析 设直角三角形直角边长、,斜边为,则
,
.
由于,设,则,设,则,于是的最小值为17,此时,,,.此时的最小周长为3808.
18.1.12★★已知,是角平分线,,,也是整数,求所有可取的值.
解析 如图,作,在上,则易知.
又,故
…,
故.
又当时,不难通过构造出,故所有可取的值为1,2,…,17.
18.1.13★面积为的正方形内接于面积为1的正三角形,其中、、是整数,且不能被任何质娄的平方整除,求的值.
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解析 设正方形的边长为,正三角形的边长为,则,由,可得
.
解得.于是
.
由题意得,,,所以
.
17.1.14★★如图,是的高,四边形是的内接正方形,若(即两位数),,,且、、、恰为从小到大的4个连续正整数,求的所有可能值.
解析 易知,于是有,或,移项,得,或,解得或5.于是有两解:
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易知这两组数据都符合要求,故或.
18.1.15★★已知中,是锐角.从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为;从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为.当和均为正整数时,是什么三角形?并证明你的结论.
解析 设,,、均为正整数,则
,
所以,,2,3.
(1)当时,,,此时.所以垂直平分,垂直平分,于是是等边三角形.
(2)当时,,,此时,,或,所以点与点重合,或点与点重合.故,或,于是是等腰直角三角形.
(3)时,,,此时,,或,.于是垂直平分,或垂直平分.故,或,于是是顶角为的等腰三角形.
18.1.6★★某直角三角形两直角边长均为整数,周长是面积的整数倍(就数字上讲),问问这样的直角三角形有多少个?
解析 设直角边分别为、,则斜边,由条件知它是有理数,故必定是整数.
设,为正整数,于是
.
由于也是正整数,故它只能为1、2或4,记作.
由,得,,时无解;时,有,{,}={3,4};时,,{,}={5,12}或{6,8},所以这样的直角三角形共有3个.
18.1.17★★在等腰中,已知,这里为大于1的自然数,点、依次在、上,且,与相交于,求使为有理数的最小自然数.
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解析 如图,连结,则,,.
由于四边形为等腰梯形,则由托勒密定理(或过、作垂线亦可),,又,于是,由于与互质,由题设知其必须均为平方数,,适合,这是满足要求的最小自然数.
18.1.18★★★对于某些正整数来说,只有一组解(不计顺序),这里,、、是正整数且可构成三角形的三边长,这样的共有多少个?
解析 显然,当(素数)时无解;当或时只有一组解(1,,)或(1,1,1);当(、为不同素数)时无解;当(为大于3的素数)时也无解.剩下的数为8,12,16,18,24,27,30,32,36,40,42,45,48,50,54,56,60,63,64,66,70,72,75,78,80,81,84,88,90,96,98,99,100.
易验证,无解的有:30,42,54,56,63,66,70,78,88,99;
唯一解的有:8,12,16,18,24,27,32,40,45,48,50,75,80,81,84,90,96,98;
不止一组解的有:36,60,64,72,100.
注意:判定无解的主要依据是,,时无解,困为.
因此,有解的共有23个.
18.1.19★★面积为整数的直角三角形周长为正整数,求的最小值,并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值(如不止一组解,只需举了一组即可).
解析 设该直角三角形的直角三角形周长分别为、,则,,,,故.
下令,,如有解,则可.
,
平方得
.
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取,得
因此、为方程的根,解得、为与,故的最小值是5.
18.1.20★★若的三边长、、均为整数,且,求内切圆半径.
解析 不妨设,于是.
又,故,得.
于是只可能为7或10.
时,,只可能,,,内切圆半径
.
时,,没有满足要求的解.
18.1.21★★证明:若、、是一组勾股数,则存在正整数、、、,使得,而,;或,.
解析 ,设(,,),则,,,.易知、、两两互质;与不可能同偶,否则,,;与也不会同奇,否则,矛盾.于是与必一奇一偶,不妨设奇而偶,于是为奇数.
从而,与必互质,否则有一奇素数,,得,,故(,),与(,)=1矛盾.
于是可设,,(,)=1,且、均为奇数,解得,,,令,,即得结论.
18.1.22★★★如图,、在的边、上,的延长线与的延长线交于,求证:、、、、、、、的长度不可能是1~8的排列.
解析 如果,则,得,矛盾,故,同理、、、、都不等于1.
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因此1只可能等于或之长,不失对称性,设,则
,,作,在上,四边形乃一等腰梯
形,于是为正整数.
又,故,但为等腰三角形的底角,,,为的最大内角,,矛盾,因此结论证毕.
18.1.23★★★已知梯形中,,、分别在、上,,,如果、、均为正整数,称该梯形为“整数梯形”.现对于正整数,有正整数′