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（第 8 题）
（第 9 题） （第 10 题）
（第 2 题） （第 5 题） （第 3 题）
A
B C
D
·O
2017 年秋学期期末学业质量抽测
九年级数学试题卷 2018.1
（本卷考试时间为 120 分钟，满分 130 分．）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．）
1．一元二次方程 x2－6x＋5＝0 配方后可化为…………………………………………………（ ▲ ）
A．(x－3)2＝－14 B．(x＋3) 2＝－14 C．(x－3)2＝4 D．(x＋3)2＝4
2．如图，在△ABC 中，点 D、点 E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC．若 BD＝2AD，则…（ ▲ ）
A．AD
AB＝1
2 B．AE
EC＝1
2 C．AD
EC＝1
2 D．DE
BC＝1
2
3．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论中正确的是…………………（ ▲ ）
A．BC＝CD B． AB＝AD C．∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA
4．下列方程中，两根之和为 2 的是……………………………………………………………（ ▲ ）
A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．4 x2－2x－3＝0
5．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC 的面
积为 0.8，则△BCD 的面积为………………………………………………………………（ ▲ ）
A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.2
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则 sinA 的值为……………………………（ ▲ ）
A．3
5 B．4
5 C．3
4 D．4
3
7．某人沿着坡度为 1∶2.4 的斜坡向上前进了 130m，那么他的高度上升了…………………（ ▲ ）
A．50m B．100m C．120m D．130m
8．如图，在⊙O 中，直径 AB 与弦 MN 相交于点 P，∠NPB＝45°，若 AP＝2，BP＝6，则 MN
的长为…………………………………………………………………………………………（ ▲ ）
A． 14 B．2 5 C．2 14 D． 8
9．如图，二次函数 y＝x2－2x 的图像与 x 轴交于点 O、A1，把 O~ A1 之间的图像记为图像 C1，将
图像 C1 绕点 A1 旋转 180°得图像 C2，交 x 轴于点 A2；将 图像 C2 绕点 A2 旋转 180°得图像 C3，
交 x 轴于点 A3；…，如此进行下去，若 P（2017，a）在某一段图像上，则 a 的值为…（ ▲ ）
A．0 B． 1 C．2 D．－1
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2 2，点 D 是 AC 边上一动点，连接
BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为……………………（ ▲ ）
A． 3 B．1 C． 2 D． 5 －1
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二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．）
11．若a
b＝4
3，则a＋b
b ＝ ▲ ．
12．关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－1＝0 的一个根是 0，则 k 的值是 ▲ ．
13．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的百
分率为 x，根据题意可列方程为 ▲ ．
14．将二次函数 y＝2x2 的图像先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的图像
与一次函数 y＝x＋m 的图像有公共点，则实数 m 的取值范围为 ▲ ．
15．如图，点 A、B、C 为⊙O 上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠OBC＝50°，则∠ACB＝ ▲ °．
16．如图为空旷场地上的一栋矩形小屋 ABCD 的平面图，拴住小狗的绳子一端固定在屋外 B 点处，
小狗只能在屋外场地上活动．若 AB＝6m，BC＝4m，拴小狗的绳长为 10m，则小狗可以活动
的区域面积 S＝ ▲ m2．
17．对于实数 p、q，我们用符号 min{p，q}表示 p、q 两数中较小的数，如 min{1，2}＝1，若
min{(x－1)2，x2}＝1，则 x＝ ▲ ．
18．如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝10，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，∠BDC＝135°，
过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E，则 DE＝ ▲ ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．）
19．（本题 8 分）解下列方程：
（1）x2－2x－4＝0； （2）3x(x－1)＝2x－2．
20．（本题 8 分）
（1）计算：2cos30o－ (1－tan60o)2＋(sin45o)2．
（2）若 3tan(α－30o)－1＝0，求 cosα 的值．
21．（本题 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点
坐标分别为 A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）．
（1）以原点 O 为位似中心，位似比为 1:2，在 y 轴的左侧，
画出△ABC 放大后的图形△A1B1C1；
（2）直接写出 C1 点坐标 ▲ ；若线段 AB 上点 D 的坐标
为(a，b)，则对应的点 D1 的坐标为 ▲ ；
（3）求出∠C1A1B1 的正切值为 ▲ ．
22．（本题 8 分）如图所示，当一热气球在点 A 处时，其探测器显示，
从热气球看高楼顶部点 B 的仰角为 45°，看高楼底部点 C 的俯角
为 60°，已知这栋楼高 120m，求热气球与高楼之间的水平距离．
A
B C
D
E
（第 15 题） （第 16 题） （第 18 题） 第 3 页（共 4 页）
A
C B O
E D
▪
23．（本题 8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在边 BC 上移动
（点 E 不与点 B，C 重合），满足∠DEF＝∠B，且点 D，F 分别在
边 AB，AC 上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点 E 移动到 BC 中点时，求证：FE 平分∠DFC．
24．（本题 8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为直径的⊙O
交 AB 于点 D，切线 DE 交 AC 于点 E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若 AD＝16，DE＝10，求 BC 的长．
25．（本题 8 分）某商户购进某种商品的进价是 50 元/个，根据市场调研发现售价是 80 元/个时，
每月可卖出 160 个，若销售单价每降低 1 元，则每月可多卖出 10 个．设销售价格每个降低 x
元时，该商品每月的销售利润为 W 元．
（1）当销售单价定为多少元时，该商品的每月销售利润最大？
（2）若计划下月该商品的销售利润不低于 3600 元，请确定该商品的销售单价的范围．
26．（本题 8 分）如图，已知一次函数 y＝kx＋2k＋4（k≠0）的图像与二次函数 y＝1
2x2 的图像交
于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）．
（1）若 A、B 的横坐标分别是方程 x2＋x－6＝0 的两根，请在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，
使△ABP 的面积等于 5；
（2）C 为抛物线上一点，且点 C 到 y 轴的距离为 4，求点 C 到直线 AB 的最大距离．
第 4 页（共 4 页）
D D
27．（本题 10 分）
【回顾】如图 1，在△ABC 中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则 S△ABC 等于 ▲ .
【探究】图 2 是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 30°的角，较短的直角边长为 a；另一个
含有 45°的角，直角边长为 b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 ABCD
（如图 3），他用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 sin75°＝ 6＋ 2
4 ．请
你写出小明的具体说理过程.
【应用】如图 4，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，BC＝4，求 S△ABC．
28．（本题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 3（a≠0）的图像与一
次函数 y＝ax－a（a≠0）的图像相交于 A、B 两点，与 x 轴的负半轴交于点 C．AB 交 y 轴于
点 D，BD∶AD＝1∶2，点 B 坐标为（1，0）．
（1）求该二次函数的函数表达式；
（2）M 为线段 CB 上一动点，将△ACM 以 AM 所在直线为轴翻折，点 C 的对称点为点 N，若
△AMN 有一个顶点在 y 轴上，求点 N 的坐标；
（3）设点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在直线 AB 上，问是否存在这样的点 E、F，使得以 A、
C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，
请说明理由．
图 4
A
B C 第 1 页（共 3 页）
2017 年秋学期期末学业质量抽测
九年级数学参考答案及评分标准 2018.1
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.)
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10．D
二、 填空题 (本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.)
11．7
3 12．－1 13．50(1－x)2＝32 14．m≥15
8
15．20 16．88π 17．2 或－1 18．5
2
三、解答题 (本大题共 10 小题，共 84 分．)
19．（1）解：(x－1)2＝5；…………………（2 分） （2）解：(3x－2)(x－1)＝0；…………（2 分）
∴x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5．…………（4 分） ∴x1＝2
3，x2＝1．…………………（4 分）
20．（1）解：原式＝2× 3
2 － 3＋1＋1
2……（3 分） （2）解：∵tan(α－30o)＝ 3
3 ；………（2 分）
＝3
2．………………………（4 分） ∴α＝60°．……………………（3 分）
∴cosα＝1
2．……………………（4 分）
21．解：（1）画图正确．……（2 分）；（ 2）（－6，4）；（ 2a，2b）．…（6 分）；（ 3）2．…（8 分）
22．解：作 AD⊥BC 于点 D． 设 AD＝x m……………………………………………………（1 分）
∵∠BDA＝∠CDA＝90°，∠BAC＝45°，∠CAD＝60°，…………………………（2 分）
∴BD＝AD·tan∠BAC＝x·tan45°＝x．………………………………………………（3 分）
CD＝AD·tan∠CAD＝x·tan60°＝ 3x．……………………………………………（4 分）
∵BC＝120，∴x＋ 3x＝120．………………………………………………………（6 分）
解之得 x＝60 3－60．…………………………………………………………………（7 分）
答：热气球与高楼的水平距离为（60 3－60）m．…………………………………（8 分）
23．（1）证：∵∠DEF＝∠B，∠DEF＋∠DEB＋∠FEC＝∠B＋∠DEB＋∠BDE＝180°，
∴∠FEC＝∠BDE．……………………………………………………………………（1 分）
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．……………………………………………………………（2 分）
∴△BDE∽△CEF．……………………………………………………………………（3 分）
（2）证：∵△BDE∽△CEF，∴BE
CF＝DE
EF ．………………………………………………（4 分）
∵E 是 BC 中点，∴BE＝CE，∴CE
CF＝DE
EF ．………………………………………（5 分）
∵∠DEF＝∠B，∠B＝∠C，∴∠DEF＝∠C．……………………………………（6 分）
∴△EDF∽△CEF．……………………………………………………………………（ 7 分）
∴∠DFE＝∠CFE，即 FE 平分∠DFC．……………………………………………（8 分） 第 2 页（共 3 页）
24．（1）证：连 OD．∵DE 是⊙O 的切线，OD 为⊙O 的半径，∴OD⊥DE，………………（1 分）
∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠ODB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．（2 分）
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B．…………………………………………………………（3 分）
∴∠A＝∠ADE． ………………………………………………………………………（4 分）
（2）解：连 CD．∴AE＝DE＝10，∠CDB＝90°．
∵∠ACB＝90°，BC 为⊙O 的直径，∴EC 是⊙O 的切线．……………………………（5 分）
∴ED＝EC＝10，……………………………………………………………………………（ 6 分）
∴Rt△ADC 中，CD＝12．…………………………………………………………………（7 分）
易证∠A＝∠DCB，∴cosA＝cos∠DCB，∴AD
AC＝CD
BC，∴BC＝15．…………………（8 分）
25．解：（1）W＝(80－x－50)(160＋10x)＝－10(x－7)2＋5290．………………………………（2 分）
∴x＝7 时，W 的最大值为 5290，………………………………………………………（3 分）
即销售单价定为 73 元时，可获得最大利润是 5290 元．……………………………（4 分）
（2）当 W＝3600 时，得－10(x－7)2＋5290＝3600．………………………………………（5 分）
∴解得 x1＝20，x2＝－6（舍去）．………………………………………………………（6 分）
∵ 0≤x≤7 时，4800≤W≤5290，且 W 随 x 的增大而增大；x＞7 时，W＜5290，且 W 随
着 x 的增大而减小．∴当 0≤x≤20 时，W≥3600，即销售单价的范围在 60～80 元时，下
月该商品的销售利润不低于 3600 元．…………………………………………………（8 分）
26．解：（1）解方程 x2＋x－6＝0 得 x1＝－3，x2＝2，∴A（－3，9
2），B（2，2）…………（2 分）
把 x＝2，y＝2 代入 y＝kx＋2k＋4 得 k＝－1
2．………………………………………………（ 3 分）
设 P（m，1
2m2），过 P 作 PQ∥y 轴交 AB 于点 Q，∴Q（m，－1
2m＋3）．
∴PQ＝－1
2m＋3－1
2m2．∵△ABP 的面积等于 5，∴1
2(－1
2m＋3－1
2m2)·5＝5．
∴解得 m1＝－2，m2＝1．∴P（－2，2）或 P（1，1
2）． …………………………………（5 分）
（2）∵当 x＝－2 时，y＝(－2)k＋2k＋4＝4．∴一次函数的图像必经过定点（－2，4）．
设该点为 D，即直线 AB 绕点 D（－2，4）旋转．……………………………………（6 分）
由题意可得：C（4，8）或（－4，8）．连 CD，则 CD＝2 13或 2 5．
过点 C 作 CE⊥AB，则 CE≤CD，∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 2 13．……………（8 分）
第 3 页（共 3 页）
27．解：（1）3．……………………………………………………………………………………（2 分）
（2）四个三角板的总面积为 3a2＋b2，中间的矩形空隙面积为( 3a－b)(b－a)，所以该平行四
边形面积为( 3＋1)ab．………………………………………………………………………（4 分）
作 AE⊥BC 于点 E，则该平行四边形面积也可表示为 2b·AE．…………………………（ 5 分）
∴AE＝ 6＋ 2
2 a，∴ sin∠ABE＝sin75°＝AE
AB＝
6＋ 2
2 a
2a ＝ 6＋ 2
4 ．……………………（ 7 分）
（3）作 BD⊥AC 于点 D，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠C＝75°， …………………（8 分）
∴BD＝BC·sin∠C＝4×sin75°＝4× 6＋ 2
4 ＝ 6＋ 2．……………………………（9 分）
∴AB＝AC＝2BD＝2( 6＋ 2)，∴S△ABC＝1
2AC·BD＝8＋4 3．………………………（10 分）
28．解：（1）∵BD∶AD＝1∶2，点 B 坐标为（1，0）．∴点 A 的横坐标为－2，…………（1 分）
把 x＝－2 分别代入两个函数表达式得 4a－2b＋2 3＝－2a－a，………………………（2 分）
把 x＝1，y＝0 代入 y＝ax2＋bx＋2 3得 a＋b＋2 3＝0，…………………………………（3 分）
解得 a＝－2 3
3 ，b＝－4 3
3 ，∴ 二次函数的函数表达式为 y＝－2 3
3 x2－4 3
3 x＋2 3．…（4 分）
（2）由（1）可得 A（－2，2 3）， C（－3，0）， …………………………………………（6 分）
若点 N 在 y 轴上，设 N（0，n）．∵AC＝AN，∴12＋(2 3) 2＝(－2) 2＋(2 3－n) 2，
解得：n1＝2 3＋3（舍去），n2＝2 3－3，∴N（0，2 3－3）． …………………………（7 分）
若点 M 在 y 轴上，则 M（0，0）．∵A（－2，2 3），∴AM＝4，∠AMC＝60°，
∴∠AMN＝∠AMC＝60°，∴∠NMB＝60°，又∵MN＝CM＝3，∴N（3
2，3 3
2 ）．
综上，点 N 坐标为（0，2 3－3）或（3
2，3 3
2 ）． ………………………………………（8 分）
（3）E（－1，－4 3
3 ）， F（0，2 3
3 ）或 E（－1，－4 3
3 ）， F（－4，10 3
3 ）…………（10 分）
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