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第26章 离散量的最大值和最小值问题
26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛,他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分,他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高,如果他的10场比赛的平均分超过18分,问:他在第10场比赛中至少得了多少分?
解析 设前5场比赛的平均得分为,则前9场比赛的平均得分为
.
由题设知,
解得.所以前5场最多得分是
(分).
再设他第10场比赛得了分,那么有
,
解得y>28.
故他第10场比赛得分≥29分.
另一方面,当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分,前5场总得分为84分时,满足题意.
所以,他在第10场比赛中至少得了29分.
评注 在解最大值(或者最小值)问题时,我们常常先估计上界(对于最小值,估计下界),然后再构造一个例子说明这个上界(或者下界)是能够取到的,只有这样,才完整地解决了问题.
26.1.2* 从任意个不同的正整数中,一定可以从中找到两个数,它们的差是12的倍数,求的最小值.
解析 任取13个不同的整数,它们除以12所得到的余数中,一定有两个相同,于是它们的差是12的倍数.
又l,2,…,12这12个数,其中没有两个数的差为12的倍数.
综上所述,至少需任取13个数才能满足题意.
26.1.3** 从1,2,3,…,20中,至少任取多少个数,可使得其中一定有两个数,大的数是小的数的奇数倍.
解析 从1,2,…,20中取7,8,…,20这14个数,其中没有一个数是另一个数的奇数倍.
把1,2,…,20分成如下14组:{1,3,9},{2,6,18},{4,12},{5,15},{7},f8},{10},{11},{13},{14},{16},{17},{19},{20},从中任取15个数,一定有两数取自同一组,于是大数便是小数的奇数倍.
26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙;在100个小伙子中,如果某人不亚于其他99人,就称他为棒小伙子.问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个?
解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况.他们的身高互不相同,是从小到大排列的,他们的体重也互不相同,且是从大到小排列的,这样的100个小伙子都是棒小伙子,所以棒小伙子最多有100个.
26.1.5** 代数式中,、、、、、、、、可以分别取1或者.
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(1)求证:代数式的值都是偶数;
(2)求该代数式所能取到的最大值.
解析 (1)因为
,
所以,此代数式的值为偶数.
(2)原式,要使原式取得最大值,则与取1与,与取l与.但是,若与的取值相同(1或),则与的取值也相同,有.若与的取值不同.则与的取值也不同,也有.
所以,原式的最大值为4.这时取,,,,.
26.1.6** 一个三位数除以43,商是.余数是(、都是整数),求的最大值.
解析 由带余除法可知:
一个三位数. ①
因为是余数,它必须比除数小,即≤42.根据①式.考虑到等式右边是一个三位数,为此不超过23(因为24×43>1000).当时,因为43×23+10=999,此时为10.当时,可取余数,此时43×22+42=998.
故当,时,值最大,最大值22+42=64.
从1,2,…,1001这1001个正整数中取出个数,使得这个数中任意两个数的差都不是素数,求的最大值.
解析 设正整数被取出,则,,,都不能被取出.而,,三者中至多只能有一个被取出.
所以连续8个整数,,,3,4,,,中至多有两个数被取出,而
1001=8×125+1,所以≤2×125+1=251.
又1,5,9,…,1001这251个数满足题设条件.所以的最大值为251.
26.1.8*** 从1,2,…,205共205个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意三个数、、(),都有.
解析 首先,1,14,15,…,205这193个数,满足题设条件.
事实上,设、、()这三个数取自1,14,15,…,205,若,则;若,则.
另一方面,考虑如下12个数组:
(2,25,2×25),(3,24,3×24),…,(13,14,13×14),
上述这36个数互不相等,且其中最小的数为2,最大的数为13×14=1821,则
,
且.
所以,当1时,可以把逐步调整到1,这时,将增大;同样地,可以把,,…,逐步调整到1,这时将增大.于是,当,,…,均为1,时,取得最大值,即
若存在两个数、,使得,则
,
这说明在,,…,,中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加l,较大的数减1,这时,将减小.
所以,当取到最小时,,,…,。中任意两个数的差都不大于1.不难算出,当,时,取得最小值,即
.
故.
26.1.11*** 从1,2,…,9中任取个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求”的最小值.
解析 当时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.
当时,设,,…,是1,2,…,9中的5个不同的数.若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则,,…,中不可能同时出现1和9;2和8;3和7;4和6.于是,
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,…,中必定有一个数是5.
若,,…,中含1,则不含9.于是不含4(4+l+5=10),故含6;于是不含3(3+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.
若,,…,中含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20),故含4;于是不含7(7+4+9=20),故含3;于是不含8(8+9+3=20),故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.
综上所述,的最小值为5.
26.1.12*** 把1,2,…,30这30个数分成个小组(每个数只能恰在一个小组中出现),使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数,求的最小值.
解析 首先,考虑数6,19,30,因为6+19=,6+30=,19+30=,所以,这3个数必须属于3个不同的小组,于是≥3.
另一方面,可以把1,2,…,30这30个数分成如下3个小组,使得它们满足题设条件:
{3,7,11,15,19,23,27,4,8,16,24),
{1,5,9,13,17,21,25,29,6,14,18,26},
{2,10,12,20,22,28,30},
由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1,容易验证、、满足题设条件.
26.1.13*** 从{1,2,3,…,2000)中最多可能取出几个数,使得任意两个取出的数的差不为质数?
解析 首先,对于任意自然数女,,{,,,…,}中至多取2个,使得它们的差不为质数.
事实上,只需考虑集合{1,2,3,4,5,6,7,8}.把它分成3组:,{1,3,6,8),{2,4,7).集合或中任意两数之差均为质数,故、中最多只能取一个.若5取出,则中1或6可取出.对于1,5,中不能取出数了;对于5,6,中也不能再取出数了.若5不取出,则、中最多各取一个,至多为2个.
综上所述,{,,,…,}中至多取2个,它们的差不为质数.从而{1,2,3,…,2000}中至多可取500个.
又对于4,4×2,…,4×500这500个数,其中任意两个数的差为4的倍数,不是质数.
因此,最多可取500个数满足要求.
26.1.14**** 有一个正方形的纸片,用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分;取出其中一部分,再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分;又从这三部分中取其中之一,还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片,则至少要剪多少刀?
解析 根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加,于是,经过忌次分割后,可得(1)个多边形,这些多边形的内角和为(.
因为这()个多边形中有34个62边形.它们的内角和为
,
其余多边形有(个),而这些多边形的内角和不少于.所以
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,解得≥2005.
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下一个三角形,得到一个三角形和一个五边形,再在五边形上剪下一个三角形,得到2个三角形和一个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和一个62边形.再取出33个三角形,在每个三角形上各剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个62边形和33×58个三角形.于是共剪了58+33+33×58=2005(刀).
评注 我们也是先估计(剪的次数)的下界,然后再说明这个下界(2005)是可以取到的,这里给了一个具体的剪法.注意,这个具体的剪法是必不可少的.另外,本题中估计女的下界,用的是“算两次”方法,即从两个不同的方面去考虑同一个量,一方面……另一方面……结合两个方面,可以得到一个等式,或者不等式,进而得到我们需要的结果.“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具.
26.1.15*** 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛,这次比赛的试题共有6道.已知每道试题恰有500名学生答对,但是任意两名学生中,至少有一道试题使得这两名学生都没有答对,问:该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛?
解析 首先,易知每位学生至多答对了4道题.
事实上,由题设知,对任意一位学生来说,不可能答对6题.若有一位学生答对5题,由题意知,所有其他学生都与他答错相同的题,这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾.
若有一位学生答对了4题,不妨设答对了第l、2、3、4题,则没有一位学生同时答对第5题和第6题,否则将与题意矛盾.因为答对第5题与第6题的学生各有1500人,这样,学生人数至少为500+500+1>1000人.
若每位学生至多答对了3题,由于全部学生答对题数的总和为500×6=3000题,所以学生人数至少有:3000÷3=1000人.
下面的例子说明1000人是可能的.
答对下列问题的人数各有100人:(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6).(1,2,6),(2,4,6),(2,3,5),(2,4,5),(3.4,6),(3,5,6).
综上所述,至少有1000人参加了这次数学邀请赛.
26.1.16*** 一座大楼有4部电梯.每部电梯可停靠三层(不一定是连续三层,也不一定停最底层).对大楼中的任意的两层,至少有一部电梯可同时停靠,请问这座大楼最多有几层?
解析 设大楼有层,则楼层对有,每部电梯停3层,有个层次,所以.
所以.当时,四部电梯停靠楼层分别为(1,4,5),(2.4,5),(3,4,5),(1,2,3).
综上所述,大楼至多有5层.
26.1.17**** 10个学生参加个课外小组.每一个小组至多5个人;每两个学生至少参加某一个小组;任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:的最小值为6.
解析 设10个学生为,…,,个课外小组为,…,.
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其他9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.
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若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设恰好参加、,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是个课外小组,,…,的人数之和不小于3×10=30.
另一方面。每一课外小组的人数不超过5,所以个课外小组,,…,的人数不超过,故
,
所以≥6.
下面构造一个例子说明是可以的.
,
,
,
,
,
.
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,的最小值为6.
26.1.18**** 2006个都不等于119的正整数,,…,排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求的最小值.
解析 首先汪明命题:对于任意119个正整数,,…,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数
,,…,, ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立.
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为和,于是
,
从而此命题得证.
对于,,…,
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中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006=16×119+102,所以
. ②
取,其余的数都为1时,②式等号成立.
所以,的最小值为3910.
26.1.19**** 设是大于2的整数,将2,3,…,这个数任意分成两组,总可以在其中一组中找到数,,(可以相同),使得.求的最小值.
解析 当时,把2,3。…,分成如下两组:
{2,3,,+1,…,一1}和{4,5,…,-1}.
在数组{2,3。,+1,…,-1}中,由于