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12＋4满分练(8)
1.(2017·湖南十三校联考)设全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)＝{1，2}，则集合B等于( )
A.{2，4，5} B.{3，4，5}
C.{4，5} D.{2，4}
答案 B
解析 由题设可得A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，故选B.
2.(2017·湖北部分重点中学联考)复数z满足z(3i－4)＝25(i是虚数单位)，则z的共轭复数等于( )
A.4＋3i B.4－3i
C.－4＋3i D.－4－3i
答案 C
解析 因为z＝＝－＝－(4＋3i)，
故＝－4＋3i，故选C.
3.已知函数y＝sin ax＋b(a＞0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
答案 A
解析 由图象可知，0＜a＜1，0＜b＜1，所以函数y＝loga(x＋b)可视为将函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度，故选A.
4.(2017·湖南十三校联考)抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线在第一象限内与C1交于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( )
A. B. C. D.
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答案 D
解析 设切点M(x0，y0)，双曲线的渐近线为y＝±x，
因为y＝，所以y′＝，
故切线的斜率为k＝x0＝，
则x0＝p，代入得y0＝×＝p，
又三点F1(0，)，M，F2(2，0)共线，
则＝，解得p＝，故选D.
5.(2017·西安模拟)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A.1 B.2 C.4 D.4
答案 D
解析 圆x2＋y2－2x－4y＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
可知圆的圆心为(1，2)，半径为，
圆心到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，
由勾股定理可得直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2＝4，故选D.
6.三棱锥S－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( )
A.32π B.π C.π D.π
答案 B
解析 如图，取AC的中点F，连接BF，则在Rt△BCF中，BF＝2，CF＝2，BC＝4，在Rt△BCS中，CS＝4，所以BS＝4，设球心到平面ABC的距离为d，因为△ABC的外接圆半径为，所以由勾股定理可得R2＝d2＋2＝(4－d)2＋2，解得d
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＝2，则该三棱锥外接球半径R＝，所以该三棱锥的外接球的表面积是4πR2＝π.
7.(2017·河北张家口期末)在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )
A.1－ B.1－ C.1－ D.1－
答案 A
解析 满足条件的正三角形ABC如图所示：
设边长为2，其中正三角形ABC的面积S△ABC＝×4＝.
满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，
其加起来是一个半径为1的半圆，
则S阴影＝π，
则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P＝1－，故选A.
8.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝3，则输出的n等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
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答案 C
解析 程序框图执行过程，首先初始化数值：a＝3，A＝0，B＝1，n＝0，然后进入循环.
第一次循环：满足A≤B，则A＝A＋an＝1，B＝2B＋1＝3，n＝n＋1＝1，
第二次循环：满足A≤B，则A＝A＋an＝4，B＝2B＋1＝7，n＝n＋1＝2，
第三次循环：满足A≤B，则A＝A＋an＝13，B＝2B＋1＝15，n＝n＋1＝3，
第四次循环：满足A≤B，则A＝A＋an＝40，B＝2B＋1＝31，n＝n＋1＝4，
第五次循环：不满足A≤B，跳出循环，输出n＝4.
9.已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，
当x＝0时，y＝1，
当x＝时，y＝－1，
所以0＜k≤.
令g(x)＝x3－3x2＋3，
则g′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2，
当x＝2时，函数取得极小值－1，
当x3－3x2＋3＝1时，
解得x1＝1，x2＝1＋，x3＝1－＜0(舍)，
所以2≤a≤1＋，故选B.
10.(2017·四川遂宁等四市联考)已知不等式sin ·cos ＋cos2－－m≥0对于x∈恒成立，则实数m的取值范围是( )
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A. B. C. D.
答案 B
解析 因为sincos＋cos2－＝sin＋×－＝sin，
所以原不等式等价于m≤sin在x∈上恒成立.
因为≤＋≤，
所以sin∈，
所以m≤，故选B.
11.F是抛物线y2＝2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于点A，与抛物线的准线相交于点B，若＝4，则·等于( )
A.1 B. C.2 D.
答案 D
解析 由题意，设点A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得＝，则m＝，所以||＝，||＝3，所以·＝||||cos 0°＝.
12.(2017·湖北七市(州)联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f()＞f(－)，则a的取值范围是( )
A.(－∞，) B.(0，)
C.(，＋∞) D.(1，)
答案 B
解析 由f()＞f(－)可得f()＞f()，即f()＞f()，
由题意可知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
故0＜＜，
即log3a＜⇒0＜a＜，故选B.
13.(2017·枣庄期末)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则＋的最大值是______.
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答案 2
解析 由题意，得A(0，0)，
因为直线mx－y－m＋3＝0，
即m(x－1)－y＋3＝0，经过定点B(1，3).
又直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0始终垂直，
点P又是两条直线的交点，
所以PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
设∠ABP＝θ，
则|PA|＝sin θ，|PB|＝cos θ，
所以|PA|＋|PB|＝sin θ＋cos θ＝2sin，
所以|PA|＋|PB|的最大值是2.
14.在(a＋b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________.
答案 70
解析 由题意知，2n－1＝128，解得n＝8.
展开式共n＋1＝8＋1＝9项.
得中间项的二项式系数最大，
故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C＝70.
15.若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为_______.
答案 －1
解析 (1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，
则2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
16.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________.
答案 2
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
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＋＝1(a>b>0)，
－＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以＝＝＝2.
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