圆综合题
1．（大兴18期末24）已知：如图，是半圆的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），
（1）求证：AC是半圆的切线；
（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．
24.
（1）证明：
∵AB是半圆直径，
∴∠BDA=90°. .………………………………………………………1分
∴
又
∴……………………………………………2分
即∠CAB=90°
∴AC是半圆O的切线.
（2）解：由题意知，
∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90°
∴.
……………………………………………………3分
又∵AD=6
∴AF=3.
又
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∴△AEF∽△BAD ……………………………………………4分
2．（昌平18期末24）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长.
24．（1）证明：连接，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC=弧CF．
∴．…………… 1分
∵，
∴．
∴．……………………2分
∵AE⊥DE，
∴．
∴．
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线． …………………… 3分
（2）解：∵tanD==，OC=3，
∴CD=4．…………………………… 4分
∴OD==5．
∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分
∵sinD===，
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∴AE=．……………………………6分
3．（朝阳18期末24）如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E.
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长.
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4．（东城18期末25）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的与边BC，AC分别交于点D，E.DF是的切线,交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若AE=4，DF=3，求．
19、
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25、
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5．（海淀18期末24）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若 AD4，DE5，求DM的长．
24．（1）证明：∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵ DE∥AB，
∴ ∠ABD=∠BDE.
∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1分
∵ ED=EF，
∴ ∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，
∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
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∴ OD⊥DF. ………………2分
∵OD是半径，
∴ DF是⊙O的切线. ………………3分
（2）解： 连接DC，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BAD=∠BCD=90°.
∵ ∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴ △ABD≌△CBD.
∴ CD=AD=4，AB=BC.
∵ DE=5，
∴ ，EF=DE=5.
∵ ∠CBD=∠BDE，
∴ BE=DE=5.
∴ ，.
∴ AB=8. ………………5分
∵ DE∥AB，
∴ △ABF∽△MEF.
∴ .
∴ ME=4.
∴ . ………………6分
6．（石景山18期末25）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：∠ABC=∠AED；
（2）连接BF，若AD，AF=6，tan，求BF的长．
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25．（本小题满分6分）
（1）证明：连接CD
∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°………………………………………………………1分
∴∠DAC+∠ACD =90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ACB=90°
∴∠DAC+∠AB C=90°
∴∠ABC=∠ACD…………………………………………………2分
∵∠AED=∠ACD
∴∠ABC=∠AED…………………………………………………3分
（2）解：连接BF
∵∠AED=∠ACD=
∴tan∠ACD = tan∠AED ==
∴tan∠ACD =
即
∴CD=………………………………………………………………4分
∴AC=8
∵AF=6，
∴FC=2
∵=，即
∴BC=6………………………………………………………..…….5分
∴BF=……………………………………………………… 6分
7．（西城18期末24）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．
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8．（丰台18期末24）如图，是⊙O的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交
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⊙O于点，连接.
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长.
24.（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，点是的中点，∴∠AOC＝90°. ……1分
∵,，∴OC是的中位线. ∴OC∥BD.
∴∠ABD＝∠AOC＝90°. ……2分
∴.∴是⊙O的切线. ……3分
其他方法相应给分.
（2）解：由（1）知OC∥BD，∴△OCE∽△BFE. ∴.
∵OB = 2，∴OC= OB = 2，AB = 4，∵，∴，∴BF=3. ……4分
在Rt中，∠ABF＝90°，.
∵ ，∴.即.
∴BH =. .……5分
其他方法相应给分.
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9．（怀柔18期末22）22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
（1）求证：AB=BN；
（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．
22.
(1)证明：连接OD，…………………………1分
∵MD切⊙O于点D，∴OD⊥MD，
∵BN⊥MC，
∴OD∥BN，…………………………………2分
∴∠ADO=∠N，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠N，
∴AB=BN；………………………………………………………………………………………3分
(2)解：由(1)OD∥BN，
∴∠MOD=∠B，………………………………………………………………………………4分
∴cos∠MOD=cosB=，
在Rt△MOD中，cos∠MOD==，
∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，∴=，
∴MA=4.5………………………………………………………………………………………5分
10．（平谷18期末25）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
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25．（1）证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC． 1
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°． 2
即OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切线． 3
（2）解：∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA．
∴． 4
∵AC=2，AB=6，
∴设OD=r，则BO=6﹣r．
∴．
解得r=．
∴AE=3．
∴BE=3． 5
11．（密云18期末24）如图，AB是的直径，C、D是上两点，.过点B作的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F.
（1）求证：AC=CE.
（2）若， 求DF长.
24.
（1）证明：连结BC.
AB是 的直径，C在上
AC=BC
AB是的直径，EF切于点B
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AB=BE
AC=CE ……………………………………………2分
（2）在中，，AE= ，AE=BE
………………………..3分
在中，AB=8，
解得： ………………………..4分
连结BD，则
，，
…………………5分
12．（顺义18期末26）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若tan∠BDE=, CF=3，求DF的长．
26．
（1）
证明： 连接OD．………………………………………..1分
∵EF切⊙O于点D，
∴OD⊥EF．……………………………………….……..2分
又∵OD=OC，
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∴∠ODC=∠OCD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠OCD，
∴∠ABC=∠ODC，
∴AB∥OD，
∴DE⊥AB．…………………………………….………..3分
（2）
解：连接AD．…………………………….…………….…4分
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…………………………………..…5分
∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，
∴∠BDE=∠1，
∵AB=AC，∴∠1=∠2．
又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3．
∴△FCD∽△FDA…………………………………….6分
∴，
∵tan∠BDE=,∴tan∠2=,
∴，∴，
∵CF=3，∴FD=6．……………………………….…7分
13．（大兴18期末27）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB. 过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H.
（1）求证：∠BCG=∠EBG；
（2）若，求的值.
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27. 证明：（1）
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.………………………………………………..1分
∵CG⊥AB于点G，
∴∠ACB=∠ CGB =90°.
∴∠CAB=∠BCG. .………………………………………………..2分
∵CE∥AB，
∴∠CAB=∠ACE.
∴∠BCG=∠ACE
又∵∠ACE=∠EBG
∴∠BCG=∠EBG. .………………………………………………..3分
（2）解：∵
∴，………………………………………………..4分
由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB
∴在Rt△HGB中，.
由（1）知，∠BCG =∠CAB
在Rt△BCG中，.
设GH=a，则GB=2a，CG=4a.CH=CG－HG=3a. ……………..6分
∵EC∥AB，
∴∠ECH =∠BGH，∠CEH =∠GBH
∴△ECH∽△BGH．……………………………………………..7分
∴．…………………………………………8分
14．（门头沟18期末24）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点 E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=2，，求⊙O的半径．
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24．（本小题满分5分）
（1）证明：连接OE，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，…………….1分
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=BF，
又∵OE=BD，
∴BF=BD；……………………………………….2分
（2）设BC=3x，可得：AB=5x，
又∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+2，
∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B， ……………………………………………………………………………………4分
∴cos∠AOE=cosB，即，
解得：
则圆O的半径为………………………………………………………………………5分
15．（通州18期末22）如图，是等腰三角形，，以为直径的⊙与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为2，，求的值．
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16．（燕山18期末24）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长.
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24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC ，垂足为点E，交AB的延长线于点F.
（1）证明：连结OD
∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO
又AB=AC
∴∠DBO=∠C
∴∠ODB =∠C
∴OD ∥AC
又DE⊥AC
∴DE ⊥OD
∴EF是⊙O的切线. ……………………..…………….2′
（2）∵AB是直径 ∴∠ADB=90 °∴∠ADC=90 °
即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °
∴∠1=∠C
∴∠1 =∠3 ……………………..…………….3′
∴
∴∴AD=8
在Rt△ADB中,AB=10∴BD=6
在又Rt△AED中,
∴ ……………………..…………….4′
设BF=x
∵OD ∥AE
∴ △ODF∽△AEF
∴ x=……………………..…………….5′
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