2018年高考数学预测试题1(江苏省有答案)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年江苏高考预测试题(一)‎ ‎(对应学生用书第129页)‎ ‎(限时:120分钟)‎ 参考公式 样本数据x1,x2,…,xn的方差s2= (xi-)2,其中=xi.‎ 棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.‎ 棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1.已知集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},则A∩B=________.‎ ‎{0,3} [集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},则A∩B={0,3}.]‎ ‎2.已知b∈R,若(2+bi)(2-i)为纯虚数,则|1+bi|=________.‎  [(2+bi)(2-i)=4+b+(2b-2)i为纯虚数,‎ ‎∴解得b=-4.‎ 则|1+bi|=|1-4i|==.]‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则双曲线的离心率为________. ‎ ‎【导学号:56394116】‎ ‎2 [抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线-=1的右焦点为(2,0),‎ 即有c==2,不妨设a=1,‎ 可得双曲线的离心率为e==2.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________.‎  [∵某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,‎ ‎∴基本事件总数n=3×3=9,‎ 甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6,‎ ‎∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率P===.]‎ ‎5.已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值为________.‎  [根据题意,作出不等式组 所表示的可行域如图中阴暗部分所示,作出直线2x-y=0并平移,可知当直线平移至过点A时,目标函数z=2x-y取得最大值,由解得故z=2x-y的最大值为2×-=.]‎ ‎6.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1,那么这组数据的方差s2可能的最大值是________.‎  [设这组数据的最后2个分别是:10+x,y,‎ 则9+10+11+(10+x)+y=50,‎ 得:x+y=10,故y=10-x,‎ 故s2=[1+0+1+x2+(-x)2]=+x2,‎ 显然x最大取9时,s2最大是.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7.执行下面的流程图1,输出的T=________.‎ 图1‎ ‎30 [执行流程图依次得 故输出T=30.]‎ ‎8.如图2,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=________.‎ 图2‎  [∵=2,=λ+μ,‎ ‎∴=λ+2μ.‎ ‎∵E为线段AO的中点,∴=(+),‎ ‎∴λ=,2μ=,解得μ=,∴λ+μ=.]‎ ‎9.已知sin α=3sin,则tan=________.‎ ‎2-4 [sin α=3sin=3sin αcos+3cos αsin ‎=sin α+cos α,∴tan α=.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又tan=tan===2-,‎ ‎∴tan= ‎== ‎=-=2-4.]‎ ‎10.四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=3,PA=,点E为棱CD上一点,则三棱锥E-PAB的体积为________.‎ 图3‎  [∵底面ABCD是矩形,E在CD上,‎ ‎∴S△ABE=AB·AD=×2×3=3.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,‎ ‎∴VE-PAB=VP-ABE=S△ABE·PA=×3×=.]‎ ‎11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,且数列{}也为等差数列,则a11=________.‎ ‎63 [设等差数列{an}的公差为d,∵a1=3,且数列{}也为等差数列,∴2=+,‎ ‎∴2=+,化为d2-12d+36=0,解得d=6,则a11=3+10×6=63.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12.已知经过点P的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C‎1C2等于________. ‎ ‎【导学号:56394117】‎  [设圆心坐标为(x,y),由于圆与直线l1:‎ y=x,l2:y=2x都相切,根据点到直线的距离公式得:=,解得y=x,∴圆心只能在直线y=x上.设C1(a,a),C2(b,b),‎ 则圆C1的方程为(x-a)2+(y-a)2=,‎ 圆C2的方程为(x-b)2+(y-b)2=,‎ 将代入,得 ‎∴a,b是方程(1-x)2+2=,‎ 即-5x+=0的两根,∴a+b=,ab=,‎ ‎∴C‎1C2==·=·=.]‎ ‎13.已知x>y>0,且x+y≤2,则+的最小值为________.‎  [由x>y>0,可得x+3y>0,x-y>0,‎ ‎[(x+3y)+(x-y)] ‎=5++≥5+2=9,‎ 可得+≥=≥.‎ 当且仅当2(x-y)=x+3y,即x=5y=时,取得最小值.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14.已知函数f (x)=若函数g(x)=‎2f (x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________.‎  [g(x)= 显然,当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意;‎ 当x≥a时,令g(x)=0得x=0,‎ 当x<a时,令g(x)=0得x=0或x2=,‎ ‎(1)若a>0且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点,在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-,‎ ‎∴≥a,解得0<a<2,‎ ‎(2)若a=0,则g(x)在[0,+∞)上存在零点x=0,‎ 在(-∞,0)上存在零点x=-,符合题意;‎ ‎(3)若a<0,则g(x)在[a,+∞)上存在零点x=0,‎ ‎∴g(x)在(-∞,a)上只有1个零点,‎ ‎∵0∉(-∞,a),‎ ‎∴g(x)在(-∞,a)上的零点为x=-,‎ ‎∴-<a,解得-<a<0.‎ 综上,a的取值范围是.]‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)在△ABC中,AB=6,AC=3,·=-18.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求tan 2B的值. ‎ ‎【导学号:56394118】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎[解] (1)由·=-18可得AB·AC·cos A=-18,‎ ‎∵AB=6,AC=3,‎ ‎∴cos A=-=-,‎ ‎∵0<A<π,‎ ‎∴A=,‎ 由余弦定理可得:‎ BC==3; 6分 ‎(2)法一:由(1)可得:a=3,b=3,c=6,‎ 可得:cos B==,‎ 那么sin B==,‎ ‎∴tan B==,‎ 故得tan 2B==. 14分 法二:由(1)可得:cos A=-,A=,‎ 那么:0<B<,‎ ‎∵a=3,b=3,c=6,‎ 那么sin A=,‎ 正弦定理可得:=,‎ 可得sin B==,‎ 那么:cos B==,‎ ‎∴tan B==,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故得tan 2B==. 14分 ‎16.(本小题满分14分)如图4,已知直三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧面ACC‎1A1是正方形,点O是侧面ACC‎1A1的中点,∠ACB=,M是棱BC的中点.‎ 图4‎ ‎(1)求证:OM∥平面ABB‎1A1;‎ ‎(2)求证:平面ABC1⊥平面A1BC.‎ ‎[证明] (1)在△A1BC中,因为O是A‎1C的中点,M是BC的中点,‎ 所以OM∥A1B.‎ 又OM⊄平面ABB‎1A1,A1B⊂平面ABB‎1A1,所以OM∥平面ABB‎1A1. 4分 ‎(2)因为ABC-A1B‎1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC,‎ 又∠ACB=,即BC⊥AC,而CC1,AC⊂平面ACC‎1A1,且CC1∩AC=C,‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1. 8分 而AC1⊂平面ACC‎1A1,所以BC⊥AC1,‎ 又ACC‎1A1是正方形,所以A‎1C⊥AC1,而BC,A‎1C⊂平面A1BC,且BC∩A‎1C=C,‎ 所以AC1⊥平面A1BC.‎ 又AC1⊂平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面A1BC. 14分 ‎17.(本小题满分14分)如图5,有一景区的平面图是一半圆形,其中AB长为‎2 km,C,D两点在半圆弧上,满足BC=CD,设∠COB=θ.‎ 图5‎ ‎(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段AB,BC,CD和DA 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 组成,则当θ为何值时,观光道路的总长l最长,并求l最大值;‎ ‎(2)若要在景区内种植鲜花,其中在△AOD和△BOC内种满鲜花,在扇形COD内种一半面积的鲜花,则当θ为何值时,鲜花种植面积S最大.‎ ‎[解] (1)由题∠COB=θ,∠AOD=π-2θ,θ∈,‎ 取BC中点M,连接OM,则OM⊥BC,∠BOM=,‎ 所以BC=2BM=2sin.同理可得 CD=2sin,AD=2sin=2cos θ,‎ 所以l=2+2sin+2sin+2cos θ ‎=2+4sin+2,‎ 即l=-42+5,θ∈.‎ 所以当sin=,即θ=时,有lmax=5. 6分 ‎(2)S△BOC=sin θ,S△AOD=sin(π-2θ)=sin θcos θ,S扇形COD=θ.‎ 所以S=sin θ+sin θcos θ+θ,‎ 所以S′=cos θ+cos2θ-sin2θ+ ‎ =(4cos θ+3)(2cos θ-1),‎ 因为θ∈,由S′=0得θ=,列表得 θ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 S′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ S 递增 极大值 递减 所以当θ=时,面积S取得最大值.14分 ‎18.(本小题满分16分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.‎ ‎(1)求椭圆方程和直线方程;‎ ‎(2)试在圆N上求一点P,使=2.‎ ‎[解] (1)由题意知解得a=2,c=1,所以b=.‎ 所以椭圆M的方程为:+=1.‎ 圆N的方程为(x-1)2+y2=5.‎ 由直线l:y=kx+m与椭圆M只有一个公共点,所以由得(3+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-12=0,①‎ 所以Δ=64k‎2m2‎-4(3+4k2)(‎4m2‎-12)=0得m2=3+4k2,②‎ 由直线l:y=kx+m与N只有一个公共点,得=,‎ 即k2+‎2km+m2=5+5k2,③‎ 将②代入③得km=1,④‎ 由②④且k>0,得k=,m=2.‎ 所以直线l:y=x+2. 8分 ‎(2)将k=,m=2代入①可得A,‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为y=-2x+2,所以得交点B(0,2),‎ 设P(x0,y0),因为=2,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则=8,化简得:7x+7y+16x0-20y0+22=0,⑤‎ 又P(x0,y0)满足x+y-2x0=4,⑥‎ 将⑤-7×⑥得:3x0-2y0+5=0,即y0=.⑦‎ 将⑦代入⑥得:13x+22x0+9=0,解得x0=-1或x0=-,‎ 所以P(-1,1)或P. 16分 ‎19.(本小题满分16分)设函数f (x)=x|x-1|+m,g(x)=ln x.‎ ‎(1)当m>1时,求函数y=f (x)在[0,m]上的最大值;‎ ‎(2)设函数p(x)=f (x)-g(x),若函数p(x)有零点,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] (1)当x∈[0,1]时,‎ f (x)=x(1-x)+m=-x2+x+m=-2+m+,‎ 当x=时,f (x)max=m+.‎ 当x∈(1,m]时,f (x)=x(x-1)+m=x2-x+m=2+m-,‎ 因为函数y=f (x)在(1,m]上单调递增,所以f (x)max=f (m)=m2.‎ 由m2≥m+,得m2-m-≥0,又m>1,所以m≥.‎ 所以当m≥时,f (x)max=m2;‎ 当1<m<时,f (x)max=m+. 6分 ‎(2)函数p(x)有零点,即方程f (x)-g(x)=x|x-1|-ln x+m=0有解,‎ 即m=ln x-x|x-1|有解.令h(x)=ln x-x|x-1|,‎ 当x∈(0,1]时,h(x)=x2-x+ln x.‎ 因为h′(x)=2x+-1≥2-1>0,‎ 所以函数h(x)在(0,1]上是增函数,所以h(x)≤h(1)=0. 10分 当x∈(1,+∞)时,h(x)=-x2+x+ln x.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为h′(x)=-2x++1= ‎=-<0,‎ 所以函数h(x)在(1,+∞)上是减函数,‎ 所以h(x)<h(1)=0.‎ 所以方程m=ln x-x|x-1|有解时m≤0.‎ 即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(-∞,0]. 16分 ‎20.(本小题满分16分)已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;‎ ‎(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值. ‎ ‎【导学号:56394119】‎ ‎[解] (1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1-Sn)=Sn+2-Sn+1+an,‎ 即2an+1=an+2+an,所以an+2-an+1=an+1-an.‎ 由a1=1,S2=4,可知a2=3.‎ 所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ 故{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*.4分 ‎(2)证明:法一:设数列{bn}的公差为d,‎ 则Tn=nb1+n(n-1)d,‎ 由(1)知,Sn=n(1+2n-1)=n2.‎ 因为Sn>Tn,所以n2>nb1+n(n-1)d,‎ 即(2-d)n+d-2b1>0恒成立,‎ 所以即 又由S1>T1,得b1<1,‎ 所以an-bn=2n-1-b1-(n-1)d=(2-d)n+d-1-b1≥2-d+d-1-b1=1-b1>0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以an>bn,得证. 8分 法二:设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得an0≤bn0,‎ 则a1+2(n0-1)≤b1+(n0-1)d,即a1-b1≤(n0-1)(d-2),‎ 因为a1>b1,所以d>2.‎ 所以Tn-Sn=nb1+n(n-1)d-n2=n2+n,‎ 因为d-1>0,所以存在Nn0∈N*,当n>Nn0时,Tn-Sn>0恒成立.‎ 这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾.‎ 所以an>bn,得证.8分 ‎(3)由(1)知,Sn=n2,因为{bn}为等比数列,‎ 且b1=1,b2=3,‎ 所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.‎ 所以bn=3n-1,Tn=(3n-1).‎ 则===3-,‎ 因为n∈N*,所以6n2-2n+2>0,所以<3.‎ 而ak=2k-1,所以=1,即3n-1-n2+n-1=0(*).‎ 当n=1,2时,(*)式成立;‎ 当n≥2时,设f (n)=3n-1-n2+n-1,‎ 则f (n+1)-f (n)=3n-(n+1)2+n-(3n-1-n2+n-1)=2(3n-1-n)>0,‎ 所以0=f (2)<f (3)<…<f (n)<…,‎ 故满足条件的n的值为1和2.16分 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.[选做题](本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图6‎ A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图6,已知AB,CD是圆O两条相互垂直的直径,弦DE交AB的延长线于点F,若DE=24,EF=18,求OE的长.‎ ‎[解] 设半径为r,由切割线定理,‎ 得FB·FA=FE·FD,即18×42=FB·(FB+2r),‎ 在三角形DOF中,由勾股定理,得DF2=OD2+FO2,‎ 即(18+24)2=r2+(r+BF)2.‎ 由上两式解得r=6.‎ 所以OE=6. 10分 B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵M=的两个特征向量α1=,α2=,若β=,求M2β.‎ ‎[解] 设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1,特征向量α2对应的特征值为λ2,‎ 则由可解得m=n=0,λ1=2,λ2=1,‎ 又β==+2=α1+2α2,‎ 所以M2β=M2(α1+2α2)=λα1+2λα2‎ ‎=4+2=. 10分 C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ,若直线l与曲线C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 相交于A,B两点.求线段AB的长.‎ ‎[解] 由ρ=2sin θ-2cos θ,可得ρ2=2ρsinθ-2ρcos θ,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.‎ 直线l的方程化成普通方程为x-y+1=0.圆心到直线l的距离为 d==.‎ 所求弦长L=2=.10分 D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 解不等式|x+3|-|2x-1|<+1.‎ ‎[解] ①当x<-3时,原不等式转化为-(x+3)-(1-2x)<+1,‎ 解得x<10,∴x<-3.‎ ‎②当-3≤x<时,原不等式转化为(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<-,‎ ‎∴-3≤x<-.‎ ‎③当x≥时,原不等式转化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,∴x>2.‎ 综上可知,原不等式的解集为. 10分 ‎[必做题](第22题、第23题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎22.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得数字分别为x,y.设ξ为随机变量,若为整数,则ξ=0;若为小于1的分数,则ξ=-1;若为大于1的分数,则ξ=1.‎ ‎(1)求概率P(ξ=0);‎ ‎(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).‎ ‎[解] (1)依题意,数对(x,y)共有16种,其中使为整数的有以下8种:‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),‎ 所以P(ξ=0)==;4分 ‎(2)随机变量ξ的所有取值为-1,0,1,‎ ξ=-1有以下6种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),‎ 故P(ξ=-1)==,‎ ξ=1有以下2种:(3,2),(4,3),故P(ξ=1)==,‎ ‎∴P(ξ=0)=1--=,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ξ的数学期望为E(ξ)=-1×+0×+1×=-.10分 ‎23.(本小题满分10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A′,连接A′B.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程;‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. ‎ ‎【导学号:56394120】‎ 图7‎ ‎[解] (1)将点(2,1)代入抛物线C:x2=2py的方程得,p=2.‎ 所以,抛物线C的标准方程为x2=4y. 2分 ‎(2)设直线l的方程为y=kx-1,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由得x2-4kx+4=0. 6分 则Δ=16k2-16>0,x1·x2=4,x1+x2=4k.‎ 所以kA′B===.‎ 于是直线A′B的方程为y-=(x-x2).‎ 所以y=(x-x2)+=x+1.‎ 当x=0时,y=1,‎ 所以直线A′B过定点(0,1). 10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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