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2018年江苏高考预测试题(一)
(对应学生用书第129页)
(限时:120分钟)
参考公式
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2= (xi-)2,其中=xi.
棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.
棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.
数学Ⅰ试题
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.已知集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},则A∩B=________.
{0,3} [集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},则A∩B={0,3}.]
2.已知b∈R,若(2+bi)(2-i)为纯虚数,则|1+bi|=________.
[(2+bi)(2-i)=4+b+(2b-2)i为纯虚数,
∴解得b=-4.
则|1+bi|=|1-4i|==.]
3.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则双曲线的离心率为________.
【导学号:56394116】
2 [抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线-=1的右焦点为(2,0),
即有c==2,不妨设a=1,
可得双曲线的离心率为e==2.]
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4.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________.
[∵某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,
∴基本事件总数n=3×3=9,
甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6,
∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率P===.]
5.已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值为________.
[根据题意,作出不等式组
所表示的可行域如图中阴暗部分所示,作出直线2x-y=0并平移,可知当直线平移至过点A时,目标函数z=2x-y取得最大值,由解得故z=2x-y的最大值为2×-=.]
6.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1,那么这组数据的方差s2可能的最大值是________.
[设这组数据的最后2个分别是:10+x,y,
则9+10+11+(10+x)+y=50,
得:x+y=10,故y=10-x,
故s2=[1+0+1+x2+(-x)2]=+x2,
显然x最大取9时,s2最大是.]
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7.执行下面的流程图1,输出的T=________.
图1
30 [执行流程图依次得
故输出T=30.]
8.如图2,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=________.
图2
[∵=2,=λ+μ,
∴=λ+2μ.
∵E为线段AO的中点,∴=(+),
∴λ=,2μ=,解得μ=,∴λ+μ=.]
9.已知sin α=3sin,则tan=________.
2-4 [sin α=3sin=3sin αcos+3cos αsin
=sin α+cos α,∴tan α=.
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又tan=tan===2-,
∴tan=
==
=-=2-4.]
10.四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=3,PA=,点E为棱CD上一点,则三棱锥E-PAB的体积为________.
图3
[∵底面ABCD是矩形,E在CD上,
∴S△ABE=AB·AD=×2×3=3.
∵PA⊥底面ABCD,
∴VE-PAB=VP-ABE=S△ABE·PA=×3×=.]
11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,且数列{}也为等差数列,则a11=________.
63 [设等差数列{an}的公差为d,∵a1=3,且数列{}也为等差数列,∴2=+,
∴2=+,化为d2-12d+36=0,解得d=6,则a11=3+10×6=63.]
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12.已知经过点P的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于________.
【导学号:56394117】
[设圆心坐标为(x,y),由于圆与直线l1:
y=x,l2:y=2x都相切,根据点到直线的距离公式得:=,解得y=x,∴圆心只能在直线y=x上.设C1(a,a),C2(b,b),
则圆C1的方程为(x-a)2+(y-a)2=,
圆C2的方程为(x-b)2+(y-b)2=,
将代入,得
∴a,b是方程(1-x)2+2=,
即-5x+=0的两根,∴a+b=,ab=,
∴C1C2==·=·=.]
13.已知x>y>0,且x+y≤2,则+的最小值为________.
[由x>y>0,可得x+3y>0,x-y>0,
[(x+3y)+(x-y)]
=5++≥5+2=9,
可得+≥=≥.
当且仅当2(x-y)=x+3y,即x=5y=时,取得最小值.]
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14.已知函数f (x)=若函数g(x)=2f (x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
[g(x)=
显然,当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意;
当x≥a时,令g(x)=0得x=0,
当x<a时,令g(x)=0得x=0或x2=,
(1)若a>0且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点,在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-,
∴≥a,解得0<a<2,
(2)若a=0,则g(x)在[0,+∞)上存在零点x=0,
在(-∞,0)上存在零点x=-,符合题意;
(3)若a<0,则g(x)在[a,+∞)上存在零点x=0,
∴g(x)在(-∞,a)上只有1个零点,
∵0∉(-∞,a),
∴g(x)在(-∞,a)上的零点为x=-,
∴-<a,解得-<a<0.
综上,a的取值范围是.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)在△ABC中,AB=6,AC=3,·=-18.
(1)求BC的长;
(2)求tan 2B的值.
【导学号:56394118】
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[解] (1)由·=-18可得AB·AC·cos A=-18,
∵AB=6,AC=3,
∴cos A=-=-,
∵0<A<π,
∴A=,
由余弦定理可得:
BC==3; 6分
(2)法一:由(1)可得:a=3,b=3,c=6,
可得:cos B==,
那么sin B==,
∴tan B==,
故得tan 2B==. 14分
法二:由(1)可得:cos A=-,A=,
那么:0<B<,
∵a=3,b=3,c=6,
那么sin A=,
正弦定理可得:=,
可得sin B==,
那么:cos B==,
∴tan B==,
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故得tan 2B==. 14分
16.(本小题满分14分)如图4,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形,点O是侧面ACC1A1的中点,∠ACB=,M是棱BC的中点.
图4
(1)求证:OM∥平面ABB1A1;
(2)求证:平面ABC1⊥平面A1BC.
[证明] (1)在△A1BC中,因为O是A1C的中点,M是BC的中点,
所以OM∥A1B.
又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,所以OM∥平面ABB1A1. 4分
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC,
又∠ACB=,即BC⊥AC,而CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1. 8分
而AC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AC1,
又ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1,而BC,A1C⊂平面A1BC,且BC∩A1C=C,
所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1⊂平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面A1BC. 14分
17.(本小题满分14分)如图5,有一景区的平面图是一半圆形,其中AB长为2 km,C,D两点在半圆弧上,满足BC=CD,设∠COB=θ.
图5
(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段AB,BC,CD和DA
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组成,则当θ为何值时,观光道路的总长l最长,并求l最大值;
(2)若要在景区内种植鲜花,其中在△AOD和△BOC内种满鲜花,在扇形COD内种一半面积的鲜花,则当θ为何值时,鲜花种植面积S最大.
[解] (1)由题∠COB=θ,∠AOD=π-2θ,θ∈,
取BC中点M,连接OM,则OM⊥BC,∠BOM=,
所以BC=2BM=2sin.同理可得
CD=2sin,AD=2sin=2cos θ,
所以l=2+2sin+2sin+2cos θ
=2+4sin+2,
即l=-42+5,θ∈.
所以当sin=,即θ=时,有lmax=5. 6分
(2)S△BOC=sin θ,S△AOD=sin(π-2θ)=sin θcos θ,S扇形COD=θ.
所以S=sin θ+sin θcos θ+θ,
所以S′=cos θ+cos2θ-sin2θ+
=(4cos θ+3)(2cos θ-1),
因为θ∈,由S′=0得θ=,列表得
θ
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S′
+
0
-
S
递增
极大值
递减
所以当θ=时,面积S取得最大值.14分
18.(本小题满分16分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.
(1)求椭圆方程和直线方程;
(2)试在圆N上求一点P,使=2.
[解] (1)由题意知解得a=2,c=1,所以b=.
所以椭圆M的方程为:+=1.
圆N的方程为(x-1)2+y2=5.
由直线l:y=kx+m与椭圆M只有一个公共点,所以由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①
所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0得m2=3+4k2,②
由直线l:y=kx+m与N只有一个公共点,得=,
即k2+2km+m2=5+5k2,③
将②代入③得km=1,④
由②④且k>0,得k=,m=2.
所以直线l:y=x+2. 8分
(2)将k=,m=2代入①可得A,
又过切点B的半径所在的直线l′为y=-2x+2,所以得交点B(0,2),
设P(x0,y0),因为=2,
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则=8,化简得:7x+7y+16x0-20y0+22=0,⑤
又P(x0,y0)满足x+y-2x0=4,⑥
将⑤-7×⑥得:3x0-2y0+5=0,即y0=.⑦
将⑦代入⑥得:13x+22x0+9=0,解得x0=-1或x0=-,
所以P(-1,1)或P. 16分
19.(本小题满分16分)设函数f (x)=x|x-1|+m,g(x)=ln x.
(1)当m>1时,求函数y=f (x)在[0,m]上的最大值;
(2)设函数p(x)=f (x)-g(x),若函数p(x)有零点,求实数m的取值范围.
[解] (1)当x∈[0,1]时,
f (x)=x(1-x)+m=-x2+x+m=-2+m+,
当x=时,f (x)max=m+.
当x∈(1,m]时,f (x)=x(x-1)+m=x2-x+m=2+m-,
因为函数y=f (x)在(1,m]上单调递增,所以f (x)max=f (m)=m2.
由m2≥m+,得m2-m-≥0,又m>1,所以m≥.
所以当m≥时,f (x)max=m2;
当1<m<时,f (x)max=m+. 6分
(2)函数p(x)有零点,即方程f (x)-g(x)=x|x-1|-ln x+m=0有解,
即m=ln x-x|x-1|有解.令h(x)=ln x-x|x-1|,
当x∈(0,1]时,h(x)=x2-x+ln x.
因为h′(x)=2x+-1≥2-1>0,
所以函数h(x)在(0,1]上是增函数,所以h(x)≤h(1)=0. 10分
当x∈(1,+∞)时,h(x)=-x2+x+ln x.
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因为h′(x)=-2x++1=
=-<0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上是减函数,
所以h(x)<h(1)=0.
所以方程m=ln x-x|x-1|有解时m≤0.
即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(-∞,0]. 16分
20.(本小题满分16分)已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;
(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.
【导学号:56394119】
[解] (1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1-Sn)=Sn+2-Sn+1+an,
即2an+1=an+2+an,所以an+2-an+1=an+1-an.
由a1=1,S2=4,可知a2=3.
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
故{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*.4分
(2)证明:法一:设数列{bn}的公差为d,
则Tn=nb1+n(n-1)d,
由(1)知,Sn=n(1+2n-1)=n2.
因为Sn>Tn,所以n2>nb1+n(n-1)d,
即(2-d)n+d-2b1>0恒成立,
所以即
又由S1>T1,得b1<1,
所以an-bn=2n-1-b1-(n-1)d=(2-d)n+d-1-b1≥2-d+d-1-b1=1-b1>0.
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所以an>bn,得证. 8分
法二:设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得an0≤bn0,
则a1+2(n0-1)≤b1+(n0-1)d,即a1-b1≤(n0-1)(d-2),
因为a1>b1,所以d>2.
所以Tn-Sn=nb1+n(n-1)d-n2=n2+n,
因为d-1>0,所以存在Nn0∈N*,当n>Nn0时,Tn-Sn>0恒成立.
这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾.
所以an>bn,得证.8分
(3)由(1)知,Sn=n2,因为{bn}为等比数列,
且b1=1,b2=3,
所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以bn=3n-1,Tn=(3n-1).
则===3-,
因为n∈N*,所以6n2-2n+2>0,所以<3.
而ak=2k-1,所以=1,即3n-1-n2+n-1=0(*).
当n=1,2时,(*)式成立;
当n≥2时,设f (n)=3n-1-n2+n-1,
则f (n+1)-f (n)=3n-(n+1)2+n-(3n-1-n2+n-1)=2(3n-1-n)>0,
所以0=f (2)<f (3)<…<f (n)<…,
故满足条件的n的值为1和2.16分
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题](本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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图6
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图6,已知AB,CD是圆O两条相互垂直的直径,弦DE交AB的延长线于点F,若DE=24,EF=18,求OE的长.
[解] 设半径为r,由切割线定理,
得FB·FA=FE·FD,即18×42=FB·(FB+2r),
在三角形DOF中,由勾股定理,得DF2=OD2+FO2,
即(18+24)2=r2+(r+BF)2.
由上两式解得r=6.
所以OE=6. 10分
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M=的两个特征向量α1=,α2=,若β=,求M2β.
[解] 设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1,特征向量α2对应的特征值为λ2,
则由可解得m=n=0,λ1=2,λ2=1,
又β==+2=α1+2α2,
所以M2β=M2(α1+2α2)=λα1+2λα2
=4+2=. 10分
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ,若直线l与曲线C
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相交于A,B两点.求线段AB的长.
[解] 由ρ=2sin θ-2cos θ,可得ρ2=2ρsinθ-2ρcos θ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
直线l的方程化成普通方程为x-y+1=0.圆心到直线l的距离为
d==.
所求弦长L=2=.10分
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式|x+3|-|2x-1|<+1.
[解] ①当x<-3时,原不等式转化为-(x+3)-(1-2x)<+1,
解得x<10,∴x<-3.
②当-3≤x<时,原不等式转化为(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<-,
∴-3≤x<-.
③当x≥时,原不等式转化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,∴x>2.
综上可知,原不等式的解集为. 10分
[必做题](第22题、第23题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
22.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得数字分别为x,y.设ξ为随机变量,若为整数,则ξ=0;若为小于1的分数,则ξ=-1;若为大于1的分数,则ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).
[解] (1)依题意,数对(x,y)共有16种,其中使为整数的有以下8种:
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(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),
所以P(ξ=0)==;4分
(2)随机变量ξ的所有取值为-1,0,1,
ξ=-1有以下6种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),
故P(ξ=-1)==,
ξ=1有以下2种:(3,2),(4,3),故P(ξ=1)==,
∴P(ξ=0)=1--=,
∴ξ的分布列为:
ξ
-1
0
1
P
ξ的数学期望为E(ξ)=-1×+0×+1×=-.10分
23.(本小题满分10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A′,连接A′B.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)问直线A′B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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图7
[解] (1)将点(2,1)代入抛物线C:x2=2py的方程得,p=2.
所以,抛物线C的标准方程为x2=4y. 2分
(2)设直线l的方程为y=kx-1,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1).
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由得x2-4kx+4=0. 6分
则Δ=16k2-16>0,x1·x2=4,x1+x2=4k.
所以kA′B===.
于是直线A′B的方程为y-=(x-x2).
所以y=(x-x2)+=x+1.
当x=0时,y=1,
所以直线A′B过定点(0,1). 10分
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