第5课时 函数建模2
1．(2016·保定模拟)甲、乙两列火车分别从A，B两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点B城，乙车开往终点A城，乙车比甲车早到达终点，如图是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图像．
(1)经过2小时两车相遇；
(2)A，B两城相距600千米路程；
(3)分别求出甲、乙两车的速度；
(4)分别求出甲车距A城s甲，乙车距A城的路程s乙与t的函数关系式(不必写出t的范围)；
(5)当两车相距200千米路程时，求t的值．
解：(3)设甲车的速度为v甲，乙车的速度为v乙．
此题意，得v甲＝＝120(千米/时)．
∴v乙＝－v甲＝180(千米/时)．
(4)s甲＝120t，s乙＝600－180t.
(5)①当两车相遇前，两车相距200千米时，则有300t＝600－200，解得t＝，
②当两车相遇后，两车相距200千米/时，则有300t＝600＋200，解得t＝.
∴当两车相距200千米路程时，t的值为或.
2．(2016·南宁)在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的.
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天；
(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2)．若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意，得×(30＋15)＋×15＝，
解得x＝450，经检验x＝450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天．
(2)根据题意，得(＋)×40＝，∴a＝60m＋60.∵60＞0，∴a随m的增大而增大．
∴当m＝1时，最大，
∴＝.∴÷＝3.75.
答：乙队的最大工作效率是原来的3.75倍．
3．(2016·邯郸模拟)某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售．
探究：根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则每月可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，月销售量相应减少10条．
(1)假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是(20＋x)元，每月的销售量是(400－10x)条(用含x的代数式表示)；
(2)设应季销售月利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售月利润为8 000元时，每条围巾的售价．
拓展：根据销售经验，过季处理时，若定价30元亏本销售，则可售出50条，售价每降低1元，销售量相应增加5条．
(3)若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，售价应是20元；
(4)若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是(40m－2_000)元．(用含m的代数式表示)
解：依题意得y＝(20＋x)(400－10x)＝－10x2＋200x＋8 000.
若y＝8 000时，即－10x2＋200x＋8 000＝8 000，
解得x1＝0，x2＝20.
∴60＋x＝60或80.即应季销售月利润为8 000元时．每条围巾的售价为60元或80元．
4．(2016·承德模拟)某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3 500元，乙种电脑每台进价为3 000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3 800台，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使(2)中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价m元，则
＝.
解得m＝4 000.
经检验，m＝4 000是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价4 000元．
(2)设购进甲种电脑x台，则
48 000≤3 500x＋3 000(15－x)≤50 000.
解得6≤x≤10.
因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案．
(3)设总获利为W元，则
W＝(4 000－3 500)x＋(3 800－3 000－a)(15－x)＝(a－300)x＋12 000－15a.
∴当a＝300时，(2)中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．
5．(2016·青岛)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
月产销量y(个)
…
160
200
240
300
…
每个玩具的固
定成本Q(元)
…
60
48
40
32
…
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；
(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
解：(1)因为销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月销售量y(个)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，不妨设y＝kx＋b，则(280，300)，(279，302)满足函数关系式，得
解得
产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－2x＋860(0＜x＜280)．
(2)观察表格可以知道两个变量的乘积为定值，
∴固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间存在反比例函数关系，不妨设Q＝，将Q＝60，y＝160代入得到m＝9 600，
∴Q＝.
(3)当Q＝30时，y＝320，由(1)可以知y＝－2x＋860，∴x＝270，即销售单价为270元．
∵＝，∴固定成本占销售单价的.
(4)若y≤400，则Q≥，即Q≥24，
∴每个玩具的固定成本至少是24元．
由400≥－2x＋860，解得x≥230，即销售单价最低为230元．
6．(2016·张家口模拟)某市制药厂需要紧急生产一批药品，要求必须在12天(含12)内完成．为了加快生产，车间采取工人加班，机器不停地生产方式，这样每天药品的产量y(吨)是时间x(天)的一次函数，且满足下表中所对应的数量关系．由于机器满负荷运转产生损耗，平均生产每吨药品的成本P(元)与时间x(天)的关系满足图中的函数图像．
时间x(天)
2
4
每天产量y(吨)
24
28
(1)求药品每天的产量y(吨)与时间x(天)之间的函数关系式；
(2)当5≤x≤12时，直接写出P(元)与时间x(天)的函数关系式是P＝40x＋200；
(3)若这批药品的价格为1 400元/吨，每天的利润设为W元，求哪一天的利润最高，最高利润是多少元？(利润＝价格－成本)
(4)为了提高工人加班的津贴，药厂决定在(3)中价格的基础上每吨药品加价a元，但必须满足从第5天到第12天期间，每吨加价a元后每天的利润随时间的增大而增大，直接写出a的最小值．
解：(1)设y＝kx＋b，则
解得
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋20.
(3)当0＜x＜5时，P＝400.
∴W＝(1 400－400)(2x＋20)＝2 000x＋20 000.
∵W随x增大而增大，∴W＜30 000；
当5≤x≤12时，
W＝[1 400－(40x＋200)](2x＋20)＝－80x2＋1 600x＋24 000＝－80(x－10)2＋32 000.
∴当x＝10时，Wmax＝32 000.
即第10天利润最高，最高利润是32 000元．
(4)当加价a元，5≤x≤12时，
W＝[1 400＋a－(40x＋200)](2x＋20)＝－80x2＋(1 600＋2a)x＋2 400＋20a.
当值在5≤x≤12时，W随x的增大而增大，则对称轴需满足：≥12，
解得a≥160.
即a的最小值为160.
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