河北省2017中考数学专题复习练习(三)第4课时圆的综合(含答案).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4课时　圆的综合 ‎1．(2016·河北考试说明)如图，A是半径为12 cm的⊙O上的定点，动点P从点A出发，以2π cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A立即停止运动．‎ ‎(1)如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；‎ ‎(2)如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2 s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ 解：(1)当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或.设点P运动的时间为t s.‎ 当点P运动的路程为⊙O周长的时，‎ ‎2π·t＝·2π·12，解得t＝3；‎ 当点P运动的路程为⊙O周长的时，‎ ‎2π·t＝·2π·12，解得t＝9.‎ ‎∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3 s或9 s.‎ ‎(2)如图，当点P运动的时间为2 s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：‎ 当点P运动的时间为2 s时，点P运动的路程为4π cm.连接OP，PA.‎ ‎∵⊙O的周长为24π cm，∴的长为⊙O周长为，‎ ‎∴∠POA＝60°.‎ ‎∵OP＝OA，∴△OAP是等边三角形．‎ ‎∴OP＝OA＝AP，∠OAP＝60°.‎ ‎∵AB＝OA，∴AP＝AB.‎ ‎∵∠OAP＝∠APB＋∠B，∴∠APB＝∠B＝30°.‎ ‎∴∠OPB＝∠OPA＋∠APB＝90°.‎ ‎∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．‎ ‎2．(2016·河北考试说明)已知：如图1，l1∥l2，点A，B在直线l1上，AB＝4，过点A作AC⊥l2，垂足为点C，AC＝3，过点A的直线与直线l2交于点P，以点C为圆心，CP为半径作⊙C(如图2)．‎ ‎(1)当CP＝1时，求cos∠CAP的值；‎ ‎(2)如果⊙C与以点B为圆心，BA为半径的⊙B相切，求CP的长；‎ ‎(3)探究：当直线AP处于什么位置时(只要求出CP的长)，将⊙C沿直线AP翻折后得到的⊙C′恰好与直线l2相切？并证明你的结论．‎ 解：(1)∵AC＝3，CP＝1，AC⊥CP，∴AP＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴cos∠CAP＝＝＝.‎ ‎(2)当⊙C与以点B为圆心，BA为半径的⊙B相外切时，AB＝4，AC＝3，‎ ‎∵B，C为圆心，∴BC＝5，CP＝5－4＝1.‎ 当⊙C与以点B为圆心，BA为半径的⊙B相内切时，AB＝4，AC＝3，‎ ‎∵B，C为圆心，∴BC＝5，CP＝5＋4＝9.‎ ‎(3)∵将⊙C沿着直线AP翻折后得到的⊙C′恰好与直线l2相切，‎ ‎∴∠ACP＝∠CPC′＝∠PC′A＝∠C′AC＝90°.‎ 又∵AC＝CP，‎ ‎∴四边形ACPC′是正方形．‎ ‎∴CP＝3.‎ ‎3．(2016·河北考试说明)已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F(点F与点C，D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.‎ ‎(1)求证：AP＝OQ；‎ ‎(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．‎ 解：(1)连接OD，∵CD∥AB，‎ ‎∴∠CDO＝∠DOB，∠DCO＝∠COA.‎ ‎∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∴∠CDO＝∠ACO.‎ 又∵OA＝DO，OP＝DQ，‎ ‎∴△AOP≌△ODQ.‎ ‎∴AP＝OQ.‎ ‎(2)过点P作PH⊥OA，‎ ‎∴OH＝x，PH＝x，S△AOP＝3x.‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴△PFC∽△PAO.∴＝()2＝()2，‎ 即y＝(＜x＜10)．‎ ‎(3)当∠POE＝90°时，CQ＝12.5，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍)；‎ 当∠OPE＝90°时，OP＝8；‎ 当∠OEP＝90°时，此种情况不存在．‎ ‎∴线段OP的长为8.‎ ‎4．(2016·邯郸模拟)平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转， 点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α(0°≤α≤180°)．‎ 图1　　　　　　　图2　　　　　　　备用图 ‎(1)①当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝90°，CD＝；‎ ‎②当α＝180°时，＝；‎ ‎(2)当旋转至如图2位置时，求此时的大小；‎ ‎(3)若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，线段BD＝；‎ ‎(4)若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，线段BD＝2或．‎ 解：(2)∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD.‎ ‎∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC＝90°，‎ ‎∴△ACB∽△ECD.‎ ‎∴＝＝.∴△ACE∽△BCD.∴＝.‎ ‎(3)提示：当α＝∠ACB时，CE在CB边上，过D作DH⊥BC于点H，易求DH＝，CH＝＝，BH＝BC－CH＝，BD＝＝.‎ ‎(4)提示：∵m＝6，n＝4，∴CE＝3，CD＝2，AB＝＝2.‎ 当α＝90°时，半圆O与AC相切，如图③.‎ 在Rt△BCD中，BD＝＝＝2；‎ 当α＝90°＋∠ACB时，半圆O与BC相切，如图②.‎ 过点E作EM⊥AB延长线于点M，垂足为M.‎ ‎∵BC⊥AB，∴四边形BCEM为矩形．‎ ‎∴BM＝EC＝3，ME＝4.∴AM＝5.‎ ‎∴AE＝＝.‎ 由第(2)问可知＝，∴BD＝.‎ 综上所述，BD的长为2或.‎ ‎5．(2016·唐山模拟)如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2 cm，矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝4 cm，AD＝4 cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O移动速度为3 cm/s，矩形ABCD移动速度为4 cm/s，设移动时间为t(s)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1　　　　图2　　　　　备用图 ‎(1)如图1，连接OA，AC，求∠OAC的度数；‎ ‎(2)如图2，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长)；‎ ‎(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离d(cm)，当d＜2时，求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图)．‎ 解：(1)∵l1⊥l2，⊙O与l1、l2相切，∴∠OAD＝45°.在Rt△ADC中，AD＝4，DC＝4，∴tan∠CAD＝＝.∴∠CAD＝60°，∴∠OAC＝105°.‎ ‎(2)如图位置二所示，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，根据题意可得，O1E⊥l1，在Rt△A1C1D1中，tan∠C1A1D1＝＝＝，∴∠C1A1D1＝60°，故∠O1A1E＝∠C1A1D1＝60°.‎ 在Rt△O1A1E中，‎ A1E＝＝＝，‎ ‎∵A1E＝AA1－OO1－2＝4t－3t－2＝t－2，∴t＝2＋，故圆心O移动的距离为3t＝(6＋2)cm.‎ ‎(3)①如图位置一所示，当直线AC与⊙O第一次相切时，⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，设移动时间为t1，根据题意可得，∠O2GA2＝∠O2FA2＝90°，由(2)可知，∠C2A2D2＝60°，∴∠GA2F＝120°，在Rt△O2GA2和Rt△O2FA2中，∴Rt△O2GA2≌Rt△O2FA2(HL)，故∠O2A2G＝∠O2A2F，故∠O2A2F＝60°，在Rt△O2FA2中，由三角函数得，A2F＝＝＝，因为AA2＋A2F＝OO2＋2，即4t1＋＝3t1＋2，解得t1＝2－.‎ ‎②如图位置三所示，当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，根据题意可得，从位置一到位置二所用时间与从位置二到位置三所用时间相等，∴2＋－(2－)＝t2－(2＋)，解得t2＝2＋2.‎ 综上所述，当d＜2时，t的取值范围为2－＜t＜2＋2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费