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第5课时 几何综合(一)
1．(2016·河北考试说明)观察思考
某机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．已知，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．
解决问题
(1)点Q与点O间的最小距离是4分米；
点Q与点O间的最大距离是5分米；
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米；
(2)如图3，小勤说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
(3)①小王发现：当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
解：(2)不对．
∵OP＝2，PQ＝3，OQ＝4，且42≠32＋22，即OQ2≠PQ2＋OP2，
∴OP与PQ不垂直，
∴PQ与⊙O不相切．
(3)如图4，②由①知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3分米，此时，OP将不能再向下转动，如图所示，OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP.
连接P′P，交OH于点D.
∵PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ＝P′Q′＝3，
∴四边形PQQ′P′是矩形，OH⊥PP′，PD＝P′D.
由OP＝2，OD＝OH－HD＝1，得∠DOP＝60°.
∴∠POP′＝120°.
∴所求最大圆心角的度数为120°.
2．(2016·承德围场模拟)如图1，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，一简易量角器放置ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC，CD(或其延长线)分别交于点E，F.设点P处的刻度数为n，∠PAB＝α.
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(1)当n＝136时，α＝22°．写出α与n的关系式；
(2)如图2，当n＝120时，求弦AP的长；
(3)在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；
(4)在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化．
①当点F与点D重合时，如图3，求α的值；
(参考数据：tan56.3°≈1.5，tan33.7°≈0.7，tan67.4°≈2.4)
②讨论当F点在线段CD上时，在CD的延长线上时，在DC的延长线上时，对应的α的取值范围分别是多少？
解：(1)连接OP.
由题意可知∠AOP＝n°.
∵AO＝PO，
∴∠OPA＝∠PAB.
∵∠OPA＋∠PAB＋∠AOP＝180°，
∴n°＋2α＝180°.
∴α＝90°－n°.
(2)由(1)，知α＝90°－n°.
当n＝120时，α＝30°.即∠PAB＝30°.
连接OP，过O作OH⊥AP于点H，则AP＝2AH.
在Rt△AOH中，AO＝AB＝2，∠PAB＝30°，
∴OH＝AO＝1，AH＝＝.
∴AP＝2AH＝2.
(3)EB＝EP.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
∴BE为半圆O的切线．
又∵EP为半圆O的切线，
∴PE＝EB.
(4)①连接OP，DO.
∵DA，DP分别为半圆O的切线，
∴DP＝DA，∠ADO＝∠PDO.
∴DO⊥AP.
∴∠DAP＋∠ADO＝90°.
又∵∠DAP＋∠PAB＝90°，
∴∠ADO＝∠PAB.
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在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝0.6.≈0.7.
∵tan33.7°≈0.7.
∴∠ADO≈33.7°.
∴α≈33.7°.
②由①，知D，F重合时，α≈33.7°.
当∠POB＝90°时，显然过点P的切线与CD平行，此时α＝45°.
如图5，当点E与点C重合时，
由切线长的性质知CP＝CB＝3，PQ＝AQ，∠AQO＝∠PQO.
∴OQ⊥AP.∴∠QAP＋∠AQO＝90°.
又∵∠QAO＝90°，
∴∠BAP＋∠QAP＝90°.
∴∠AQO＝∠BAP.
在Rt△DQC中，DC＝4，DQ＝3－AQ，CQ＝PQ＋PC＝AQ＋3，
∴42＋(3－AQ)2＝(AQ＋3)2.
∴AQ＝.
在Rt△AQO中，tan∠AQO＝＝＝.
∵tan56.3°≈，
∴∠AQO≈56.3°，
∴∠BAP≈56.3°，即α≈56.3°.
∴结合图形以及以上临界状态可知：
当F在线段CD上时，0＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；
当F在CD的延长线上时，33.7°＜α＜45°；
当F在DC的延长线上时，45°＜α＜56.3°.
3．(2011·河北)如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考：
如图1中，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α，
当α＝90度时，点P到CD的距离最小，最小值为2；
探究一：
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止．如图2，得到最大旋转角∠BMO＝30度，此时点N到CD的距离是2；
探究二：
将图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
(1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
(参考数据：sin49°≈，cos41°≈，tan37°≈)
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解：探究二：
(1)由已知得出M与P的距离为4，
∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2，
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°.
(2)由探究一可知，点P是与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD，α最大值为120°；
如图4，当点P在CD上，且MP⊥CD时，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，
∴sin∠MOH＝＝.∴∠MOH≈49°.
∵α＝2∠MOH，∴α最小为98°，
∴α的取值范围为98°≤α≤120°.
4．(2015·河北)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．
发现：
(1)当α＝0°，即初始位置时，点P在直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?
(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．
拓展：
(4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：
(5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
解：(1)当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.
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(2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时OA＋AP＝OP成立．
∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.
∴当α＝60°，P，A间的距离最小．PA的最小值为1.
(3)设半圆K与BC交点为R，连接RK，AP.过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.
在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，
∴∠POH＝30°.
∴α＝60°－30°＝30°.
∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°，
∴∠RKQ＝2×30°＝60°.
∴S扇形RKQ＝＝.
在Rt△RKE，RE＝RK·sin60°＝，
∴S△RKP＝PK·RE＝.
∴S阴影＝＋.
(4)∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，
∴△AON∽△BMN.∴＝，即＝.∴BN＝.如图4，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F.BQ＝AF＝－AO＝－1＝2－1.∴x的范围是0＜x≤2－1.
(5)半圆与矩形相切，分三种情况：①如图5，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G.Rt△OSK中，OS＝＝＝2.Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2，∴KO′＝2－.Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝KO′＝－.Rt△OGK中，sinα＝＝＝；
②半圆K与AD切于点T，如图6，同理可得
sinα＝＝＝
＝＝；
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③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且D点为切点．α＝60°.∴sinα＝sin60°＝.
综上所述，sinα的值为或或.
5．(2016·邯郸模拟)如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝8，半径为的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．
发现：BD＝16，∠CBD的度数为30°；
拓展：
(1)当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；
(2)在滚动过程中如图2，求AP的最小值；
探究：
(3)若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切，求此时线段BM的长，并直接写出tan∠PBC的值；
(4)在滚动过程中如图3，点N是AC上任意一点，直接写出BP＋PN的最小值．
解：拓展：(1)连接PH，过点P作PG⊥BC于点G.
∵⊙P与BD相切，
∴∠PBD＝90°.
又∵∠CBD＝30°，
∴∠PBC＝60°.
∵PB＝PH，
∴△PBH为等边三角形．∴∠BPH＝60°.
∵PG⊥BC，
∴∠GPH＝∠BPH＝30°.
在Rt△GPH中，cos30°＝＝，
∴PG＝.
∴S△PBH＝BH·PG＝××＝.
∴S重叠＝S扇形PBH－S△PBH＝－＝－.
(2)过点P作直线l∥BD，显然⊙P在移动的过程中，圆心P在直线l上，过点A作AP′⊥l于点P′，交BD于点G′，则当⊙P的圆心移动到点P′处时，AP取最小值，长度为AP′.
∵AP′⊥l，BD∥l，
∴AP′⊥BD.
∵S△ABD＝AB·AD，
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S△ABD＝BD·AG′.
∴AB·AD＝BD·AG′.
又∵AB＝8，AD＝BC＝8，BD＝16，
∴AG′＝4.
∴AP′＝AG′＋P′G′＝4＋＝5.
∴AP的最小值为5.
探究：(3)如图4，当P在△BOC内时，
∵OB，OC与⊙P相切，
∴∠BOP＝∠COP＝∠BOC＝×120°＝60°.
在Rt△POM中，tan∠BOP＝，
∴OM＝＝1.
∴BM＝OB－OM＝BD－1＝8－1＝7.
此时tan∠PBC＝.
如图5，当P在△COD内时，
∵OD，OC与⊙P相切，
∴∠DOP＝∠COP＝∠COD＝30°.
∴在Rt△POM中，tan30°＝.
∴OM＝＝3.
∴BM＝OB＋OM＝8＋3＝11.
此时tan∠PBC＝.
(4)如图6，BP＋PN的最小值为5.
6．(2016·保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求杯口直径AB＝6 cm，杯底直径CD＝4 cm，杯壁母线AC＝BD＝6 cm.请你和他们一起解决下列问题：
(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．
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①图2中的长为6πcm，的长为4πcm，ME＝NF＝6cm；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定所在圆的圆心O，如图3所示，小颖同学发现若将，近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得＝.请你帮她证明这一结论；
③根据②中的结论，求所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n；
(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．
解：(1)②设所在圆的半径为r，所对圆心角度数为n，则的长度为，的长为，
所以＝，即＝＝＝.
③由②得，＝，即＝，计算得出r＝12.
∵的长为，
∴＝4π，即＝4π，计算得出n＝60，即所在圆的半径r等于12 cm，它所对的圆心角的度数为60°.
(2)如图4，延长EM交FN的延长线于点O，
∵∠MON＝60°，
∴△MON和△EOF是等边三角形．
∴EF＝长方形的长＝12＋6＝18(cm)．
设RS与交于点P，OP交ZX于点Q，连接OP，
∴OQ⊥MN，MQ＝QN.
在Rt△OQN中，∠QON＝30°，OQ＝ON·cos30°＝6，∴长方形的宽＝(18－6)cm.
如图5，连接EF，同理得△EFO为等边三角形，
∴EF＝OE＝18.
在Rt△BEF中，BE＝BF，∴BE＝BF＝9.
设正方形边长为x cm，则AE＝x－9.
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即x2＋(x－9)2＝182，
解得x1＝(＋)，x2＝(－)(舍去)．
∴正方形边长为(＋)cm.
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