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第2节 一元二次方程及其应用
(建议答题时间：45分钟)
基础过关
1. 一元二次方程x2－16＝0的根是( )
A. x＝2 B. x＝4
C. x1＝2，x2＝－2 D. x1＝4，x2＝－4
2. (2017舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时 ，配方结果正确的是( )
A. (x＋2)2＝2 B. (x＋1)2＝2
C. (x＋2)2＝3 D. (x＋1)2＝3
3. (2017上海)下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2－2x＝0 B. x2－2x－1＝0
C. x2－2x＋1＝0 D. x2－2x＋2＝0
4. (2017重庆一外二模)已知x＝－1是方程x2－ax＝3的一个解，则此方程的另一个解是( )
A. 1 B. 3 C. －3 D. 2
5. (2017重庆巴蜀一模)若关于x的一元二次方程x2＋m＝3x有两个不相等的实数解，则m的取值范围是( )
A. m＞ B. m＜ C. m≥ D. m≤
6. (2017江西)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是( )
A. x1＋x2＝－ B. x1·x2＝1
C. x1，x2都是有理数 D. x1，x2都是正数
7. (2017重庆八中二模)关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
8. (2017安徽)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )
A. 16(1＋2x)＝25 B. 25(1－2x)＝16
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C. 16(1＋x)2＝25 D. 25(1－x)2＝16
9. (2017无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( )
A. 20% B. 25% C. 50% D. 62.5%
10. (2017重庆南岸区模拟)新生入学时，每一个同学向全班其他同学各送一张个性化名片，以加快相互熟悉，全班共送了个性化名片1640张，求全班的总人数，设全班有x名学生，则根据题意可列方程( )
A. x(x－1)＝1640 B. x(x＋1)＝1640
C. 2x(x＋1)＝1640 D. x(x－1)＝2×1640
11. (2017兰州)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为( )
第11题图
A. (80－x)(70－x)＝3000 B. 80×70－4x2＝3000
C. (80－2x)(70－2x)＝3000 D. 80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
12. (2017德州)方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为____________．
13. (2017南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝____，q＝____．
14. (2017兰州)解方程：2x2－4x－1＝0.
15. (2017丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.
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16. (2017菏泽)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
17. (2017常德)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
第17题图
请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
满分冲关
1. (2017咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
2. (2017温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2
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＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－1，x2＝－3
3. (2017河北)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－，－}＝________；若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝________.
4. (2017北京)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
5. (2017烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
第5题图
试问去哪个商场购买足球更优惠？
6. (2017重庆巴南区期中检测)
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某校为了加强对学生祖国传统文化的教育，计划购买《中国文学名著》(简称A)和购买《文学经典》(简称B)．其中A的标价比B的标价的2倍多10元，为此，学校计划拨4500元用于购买A，计划拨1500元用于购买B，恰好购买A的本数与购买B的本数相同．
(1)求A、B的标价；
(2)新华教育集团为了支持学校的活动，决定将A、B的标价都降低a%后卖给学校，这样，学校购买A的本数是原计划的(1＋)倍，购买B的本数不变，且总购书款不变，求a的值．
7. (2017重庆育才二模)夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A、B两款T恤进行销售，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．
(1)小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价2倍少10元，且两种T恤在一周之内全部售完，总盈利为5000元，小王销售B款的价格每件多少元？
(2)小王在第二周销售时，受各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了a%；但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，但B款销售量与第一周B款的销量相同，结果第二周的总销售额为30000元，求a的值．
8. (2017重庆江津中学模拟)商场销售某种商品，
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若按原价销售每天可卖50件．元旦期间，商场对该商品进行了促销，每件商品降价20元．统计发现，在每天销售额相同的情况下，销售量增加了20%.
(1)求该商品原价为多少元？
(2)为了尽快减少库存回笼资金，该商场决定在春节期间加大促销力度，计划每件商品比原价降低m%(20＜m＜30)．要使每天的销售额比按原价销售时的销售额提高20%，则该商品每天的销售量应比按原价销售时的销售量增加2.4m%，求m的值．
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答案
基础过关
1. D 2. B
3. D 【解析】要使方程没有实数根，则b2－4ac＜0.方程x2－2x＝0，b2－4ac＝(－2)2－0＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以A错误；方程x2－2x－1＝0，b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以B错误；方程x2－2x＋1＝0，b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，所以C错误；方程x2－2x＋2＝0，b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－4＜0，符合题意．
4. B 【解析】∵x＝－1是方程x2－ax＝3的一个解，∴将x＝－1代入方程，解得a＝2，∴此方程为x2－2x＝3，解得x1＝－1，x2＝3，∴此方程的另一个解为3.
5. B 【解析】方程x2＋m＝3x有两个不相等的实数解，即x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴9－4m＞0，解得m＜.
6. D 【解析】x1＋x2＝－＝－＝，A错误；x1x2＝＝，B错误；由求根公式可知，x1＝，x2＝，x1，x2都是无理数，C错误；由上得，x1>0，x2>0，D正确．
7. A 【解析】一元二次方程有实数根，则4－4×3×(a－1)≥0，解得a≤，∵方程为一元二次方程，∴a≠1，∴整数a的最大值为0.
8. D 【解析】原价为25元/盒，两次降价后为16元/盒，两次降价的百分率都为x，根据题意可得：25(1－x)2＝16.
9. C 【解析】设平均每月的增长率是x，2(1＋x)2＝4.5，解得x1＝0.5，x2＝－2.5(舍去)．
10. A 【解析】全班共有x名学生，由于每一位同学都要给除了自己的其他同学各送一张个性化名片，所以每一个人共送名片(x－1)张，则全班共送个性化名片1640＝x(x－1)．
11. C 【解析】无盖长方体工具箱底面矩形的长为(80－2x)cm，
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宽为(70－2x)cm，面积为(80－2x)(70－2x)＝3000.
12. x1＝，x2＝1 【解析】移项得3x(x－1)－2(x－1)＝0，因式分解得(3x－2)(x－1)＝0，则3x－2＝0，x－1＝0，解得x1＝，x2＝1.
13. 4，3 【解析】根据根与系数的关系可知，p＝－(－3－1)＝4，q＝－3×(－1)＝3.
14. 解：原方程可化为x2－2x＝，
即(x－1)2＝，
解得x＝1±
∴x1＝1－，x2＝1＋.
15. 解：去括号：x2－4x＋3＝3，
移项：x2－4x＋3－3＝0，
合并同类项：x2－4x＝0，
分解因式：x(x－4)＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
16. 解：设销售单价为x元，由题意可得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，
解得x＝460，
答：这种玩具的销售单价定为460元时，厂家每天可获利润20000元．
17. 解：(1)设平均每年收到红包的增长率是x.
根据题意得400(1＋x)2＝484，
解得x1＝－2.1(舍)，x2＝0.1＝10%；
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%.
(2)设2017年甜甜收到红包y元，则他的妹妹收到红包(2y＋34)元．
根据题意得y＋2y＋34＝484，
解得y＝150，
2y＋34＝334，
答：2017年六一甜甜收到150元，她妹妹收到334元的微信红包．
满分冲关
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1. B 【解析】∵P(a，c)在第二象限，∴a0，从而可以推出ac0.∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
2. D 【解析】令y＝2x＋3，则原方程变形为y2＋2y－3＝0，解得y1＝1，y2＝－3，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x1＝－1，x2＝－3.
3. －，2或－1 【解析】∵－>－，∴min{－，－}＝－；当(x－1)2＝1时，解得x＝0或x＝2，当x＝0时，min{(x－1)2，x2}＝min{1，0}＝0，不符合题意，舍去，当x＝2时，min{(x－1)2，x2}＝min{1，4}＝1；当x2＝1时，x＝－1或x＝1，当x＝1时，min{(x－1)2，x2}＝min{0，1}＝0，不符合题意，舍去，当x＝－1时，min{(x－1)2，x2}＝min{4，1}＝1，综上所述，x＝2或x＝－1.
4. (1)证明：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0，
∴a＝1，b＝－(k＋3)，c＝2k＋2,
∴b2－4ac＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2)
＝k2－2k＋1
＝(k－1)2≥0，
∴该方程总有两个实数根.
(2)解：x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
解得x1＝2，x2＝k＋1,
∵方程有一个根小于1，
∴x2＝k＋1
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