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第2节 概 率
(建议答题时间：60分钟)
基础过关
1. (2017新疆建设兵团)下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖
B. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C. 明天一定是晴天
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2. (2017天水)下列说法正确的是( )
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
3. (2017宜昌)九(1)班在参加学校4×100 m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为 ( )
A. 1 B. C. D.
4. (2017宁波)一个不透明的布袋里装有5个红球、2个白球、3个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
5. (2017兰州)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
6. (2017岳阳)从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A. B. C. D.
7. (2017恩施州)小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，
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他的爸爸妈妈相邻的概率是( )
A. B. C. D.
8. (2017泰安)袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
9. (2017贵港)从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D. 1
第10题图
10. (2017河南)如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为( )
A. B. C. D.
11. (2017宁夏)如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率是________．
第11题图 第13题图
12. (2017广东)在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是________．
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13. (2017邵阳)掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种．我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是________．
14. (2017娄底)在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．
第14题图 第15题图
15. (2017苏州)如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成灰色，则完成的图案为轴对称图案的概率是________．
16. (2017达州)从－1，2，3，－6这四个数中任选两数，分别记作m、n，那么点(m，n)在函数y＝图象上的概率是________．
17. (2017黄石)甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a＋b＝9的概率为________．
18. (2017台州)三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场．由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________．
19. (2017重庆西大附中月考)点P的坐标是(m，m－1)，从0，1，2，3，4这5个数中任取一个数记为m的值，则点P(m，m－1)落在直线y＝－x＋3与坐标轴围 成的区域内(包括边界)的概率为________．
20. (2017怀化)“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
(1)用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
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(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
21. (2017南京)全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是________；
(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
22. (2017日照)若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”(如13，35，56等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
(1)写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
(2)请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
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23. (2017成都)随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成下面的两幅统计图．
(1)本次调查的学生共有__________人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是__________人；
(2)“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
第23题图
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24. (2017安徽)甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5.
(1)根据以上数据完成下表：
平均数
中位数
方差
甲
8
8
______
乙
8
8
2.2
丙
6
______
3
(2)依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
(3)比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．
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25. (2017重庆一中一模)为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．
(1)该班学生共有________名，扇形统计图中阅读中外名著数为7本所对应的扇形圆心角度数是________度，并补全折线统计图；
(2)根据调查情况，班主任决定在该班阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
第25题图
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26. (2017宁夏改编)校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据下面不完整的统计图解答下列问题：
(1)求本次共调查了多少人，并补全下面两个统计图；
(2)现准备从等级A的4人(两男两女)中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率．
第26题图
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27. (2017黔东南州改编)某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02
第27题图
根据以上统计图表完成下列问题：
(1)统计表中m＝________，n＝________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)在身高≥167 cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表法或画树状图的方法求出这两人都来自同班级的概率．
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满分冲关
1. (2017淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m－n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”．则两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
2. (2017聊城)如果任意选择一对有序整数(m，n)，其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是________．
3. (2017重庆南开模拟)已知AB＝8，从12，10两个数中任取一个数作为AC的长，从10，8，6，4中任取一个数作为BD的长，经过恰当摆放，总会摆出四边形ABCD，如果对角线分别相同的四边形算作同一种四边形，那么四边形ABCD是平行四边形的概率是________．
4. (2018原创)现有A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外完全一样．
(1)随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，你认为怎样制定游戏规则，对甲乙双方才公平？
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5. (2017十堰)某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
第5题图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)杨老师采取的调查方式是________(填“普查”或“抽样调查”)；
(2)请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集到作品多少件？
(3)如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
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6. (2017赤峰改编)为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果．学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查．调查分为五种类型：A.喜欢吃苹果的学生；B.喜欢吃桔子的学生；C.喜欢吃梨的学生；D.喜欢吃香蕉的学生；E.喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整)．请根据图中提供的数据解答下列问题：
(1)求此次抽查的学生人数，将图②补充完整，并求图①中的x；
(2)现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率．(用列表法或树状图法)
第6题图
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7. (2017东营改编)为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿者服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动)．九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制了以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
第7题图
(1)求该班的人数和扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
(2)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率.
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答案
基础过关
1. B 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C
7. D 【解析】用列举法，三人的排列方法共有“爸妈明”，“爸明妈”，“妈爸明”，“妈明爸”，“明爸妈”，“明妈爸”6种等可能的结果，爸妈相邻的结果有4种，∴P(爸妈相邻)＝＝.
8. B 【解析】设这个两位数的十位数为a，个位数为b，根据题意列表得
b
a
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数是3的倍数的有21，12，42，33，24共5种情况，则P＝.
9. B 【解析】从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能的情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10共2种，则P(能构成三角形)＝＝.
10. C 【解析】列表如下：
第二次
第一次
－1
0
1
2
－1
(－1，－1)
(0，－1)
(1，－1)
(2，－1)
0
(－1，0)
(0，0)
(1，0)
(2，0)
1
(－1，1)
(0，1)
(1，1)
(2，1)
2
(－1，2)
(0，2)
(1，2)
(2，2)
共有16种等可能的结果，记录的两次数字都是正数的情况有4种，
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因此记录的两个数字都是正数的概率是＝.
11. 12. 13.
14. 【解析】随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，共有三种的等可能闭合情况：S1S2，S2S3，S1S3，其中只有S1S2这种闭合情况能使灯泡L1发光，故能使灯泡L1发光的概率是.
15. 【解析】由题图中的六个白色网格中，随机选择一个，共有6种等可能的情况，其中选取1个涂成灰色，使完成的图案为轴对称图形的有两种，如解图所示，则P＝＝.
第15题解图
16. 【解析】画树状图如解图：
第16题解图
共有12种等可能的结果，点(m，n)恰好在函数y＝的图象上的有：(－1，－6)，
(－6，－1)，(2，3)，(3，2)四种情况，∴点(m，n)恰好在函数y＝图象上的概率是＝.
17. 【解析】列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
(5，1)
(6，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
(6，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
(6，3)
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4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
(6，4)
5
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
(6，5)
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
(6，6)
由表格可知共有36种等可能的结果，其中a＋b＝9的有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共4种，故P(a＋b＝9)＝＝ .
18. 【解析】根据题意画树状图如解图，每个运动员抽签的可能性相等，∵抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的有下列两种情况：乙、丙、甲；丙、甲、乙，∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为＝.
第18题解图
19. 【解析】能组成的点有(0，－1)，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，其中能落在直线y＝－x＋3与坐标轴围成的区域内(包括边界)的有(1，0)，(2，1)，∴概率为.
20. 解：(1)列表如下：
甲队
乙队
石头
剪刀
布
石头
(石头，石头)
(石头，剪刀)
(石头，布)
剪刀
(剪刀，石头)
(剪刀，剪刀)
(剪刀，布)
布
(布，石头)
(布，剪刀)
(布，布)
(2)公平；理由如下：
由(1)可知，共有9种等可能的结果，其中甲队胜的概率为＝，
乙队胜的概率为＝，＝，
∵甲队和乙队胜的概率相同，故裁判的这种做法对甲、乙双方公平．
21. 解：(1)；
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(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：(男，男)、(男，女)、(女，男)，(女，女)，共有4种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“至少有一个孩子是女孩”(记为事件A)的结果有3种，所以P(A)＝.
22. 解：(1)15、25、35、45；
(2)列表如下：
个位数字
十位数字
1
2
3
4
5
6
1
/
/
/
/
/
/
2
12
/
/
/
/
/
3
13
23
/
/
/
/
4
14
24
34
/
/
/
5
15
25
35
45
/
/
6
16
26
36
46
56
/
共有15个“两位递增数”，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的有25，45，56共3个，∴个位数字与十位数字之积能被10整除的概率为＝.
23. 解：(1)50，360；
【解法提示】本次调查的学生有4÷8%＝50(人).1200×(1－40%－22%－8%)＝360(人)，∴估计该校1200名学生中“不了解”的人数是360(人)．
(2)画树状图如下：
第23题解图
共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，
∴P(恰好抽到一男一女)＝＝.
24. 解：(1)2，6；
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【解法提示】s甲2＝×[(9－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(5－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝2，先将丙的10个数据从小到大排列：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，排在第5、6位的数字均为6，∴中位数是6.
(2)∵2
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